Rentangan linear

Jika kita mempunyai suatu set vektor dan mengira semua gabungan linear vektor itu, kita memperoleh rentangan linear bagi set vektor tersebut.

Takrif rentangan linear

Katakan kita mempunyai vektor x₁, …, x_n. Kita sudah tahu bahawa daripada vektor ini kita boleh membina vektor baharu melalui gabungan linear. Kita pilih nombor nyata a₁, …, a_n, dan vektor baharu y diperoleh dengan mendarab dan menambah

$$\mathbf{y}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Dengan cara ini, jika sekurang-kurangnya satu vektor x_i bukan vektor sifar, kita boleh menghasilkan vektor “lain” yang tak terhingga banyaknya daripada set vektor x₁, …, x_n — kita hanya perlu memilih pekali a₁, …, a_n yang berbeza.

Jika kita terus menjana vektor, akhirnya kita memperoleh semua vektor yang boleh diperoleh sebagai gabungan linear bagi vektor x₁, …, x_n. Set ini dipanggil rentangan linear bagi vektor x₁, …, x_n. Rentangan linear bagi set vektor X ditandakan dengan kurungan sudut: ⟨X⟩ (juga ditulis span X). Secara formal, rentangan linear boleh ditulis seperti berikut

$$⟨{\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n⟩=\{a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n|a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{R}\},$$

jika bilangan vektornya terhingga. Jika kita mempunyai set vektor X yang tak terhingga, kita boleh mengambil semua subset terhingga Y_i ⊆ X, iaitu |Y_i| = r bagi suatu r ∈ ℕ, dan rentangan linear bagi set X ialah kesatuan semua set ⟨Y_i⟩.

Contoh

Kita kekal dengan ruang vektor kegemaran kita, ℝ³. Kita pilih set satu unsur X₁ = {(1, 2, 1)} dan bertanya: apakah rentangan linear bagi set ini? Rentangan itu terdiri daripada semua gabungan linear bagi vektor (1, 2, 1). Rentangan yang diperoleh berbentuk

$$⟨X_1⟩=\{(a,2a,a)|a\in \mathbb{R}\}$$

Jadi, rentangan ini terdiri daripada vektor berbentuk (3, 6, 3),(8, 16, 8),(−1, −2, −1) dan sebagainya. Kita boleh cuba menyemak bahawa hasil tambah beberapa pasangan vektor memberikan vektor baharu yang sama bentuknya:

$$\begin{array}{rcl}(3,6,3)+(3,6,3)& =& (6,12,6)\\ (3,6,3)+(-1,-2,-1)& =& (2,4,2)\\ (8,16,8)+(2,4,2)& =& (10,20,10)\end{array}$$

Contoh kedua ialah vektor klasik X₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Jika kita mengira semua gabungan linearnya, kita dapati bahawa gabungan itu berbentuk (a, b, 0), dengan a, b ∈ ℝ. Hal ini mudah ditunjukkan, kerana

$$(a,b,0)=a\cdot (1,0,0)+b\cdot (0,1,0).$$

Jadi, vektor dalam rentangan ini ialah, misalnya, (0, 8, 0), (14, 15, 0) dan sebagainya. Secara formal, kita menulisnya seperti berikut:

$$⟨X_2⟩=\{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}$$

Rentangan linear sebagai subruang terkecil

Katakan kita mempunyai ruang vektor V dan suatu set vektor X ⊆ V. Rentangan linear ⟨X⟩ ialah subruang vektor bagi ruang V, iaitu rentangan ⟨X⟩ ialah ruang vektor.

Kita hanya perlu menunjukkan bahawa rentangan ⟨X⟩ tertutup terhadap penambahan dan pendaraban. Hal ini tentu benar, kerana sebarang vektor x ∈ ⟨X⟩ terbentuk sebagai gabungan linear vektor daripada X.

Rentangan linear bagi set X juga merupakan subruang terkecil yang mengandungi semua vektor daripada set X. Mengapa? Subruang vektor terkecil yang mengandungi vektor daripada X mesti juga mengandungi semua gabungan linear vektor daripada X — jika tidak, subruang itu bukan ruang vektor. Melalui bukti secara percanggahan, kita boleh mengandaikan bahawa wujud subruang vektor yang lebih kecil, katakan Y, yang mengandungi semua vektor daripada X, iaitu X ⊆ Y. Oleh sebab, mengikut andaian, Y lebih kecil daripada rentangan ⟨X⟩, mesti wujud vektor x yang berada dalam ⟨X⟩ tetapi tiada dalam Y, iaitu x ∈ ⟨X⟩ ∧ x ∉ Y.

Akan tetapi, vektor x mesti dapat dibina sebagai gabungan linear vektor daripada X, jadi mesti wujud vektor x₁, …, x_n ∈ X dan pekali a₁, …, a_n dengan keadaan

$$\mathbf{x}=a_1\cdot {\mathbf{x}}_1+\dots +a_n\cdot {\mathbf{x}}_n$$

Jika Y tidak mengandungi vektor x ini sedangkan ruang itu mengandungi vektor x₁, …, x_n, maka Y tidak mungkin ruang vektor, dan oleh itu juga bukan subruang. Oleh itu, rentangan ⟨X⟩ ialah subruang terkecil yang mengandungi semua vektor daripada X.

Sifat asas rentangan linear

• Sentiasa berlaku W ⊆ ⟨W⟩. Perkara ini sepatutnya jelas. Rentangan linear bagi set W sentiasa sama dengan atau lebih besar daripada set W. Oleh sebab rentangan linear ⟨W⟩ mengandungi semua gabungan linear vektor daripada W, ⟨W⟩ mesti juga mengandungi semua vektor daripada W; jika kita mengambil suatu vektor x ∈ W, maka bagi a = 1 kita memperoleh gabungan a · x = x.

  Contoh: rentangan linear bagi set W = {(1, 0, 0)} ialah set

  $$\begin{array}{rcl}⟨W⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}.\end{array}$$

  Jelas bahawa {(1, 0, 0)} ⊆ {(a, 0, 0) | a ∈ ℝ}.

• Sentiasa berlaku ⟨W⟩ = ⟨⟨W⟩⟩. Setelah kita mengira rentangan linear, rentangan linear bagi rentangan itu ialah rentangan yang sama. ⟨W⟩ mengandungi semua gabungan linear daripada W. Jika kita mengira semula semua gabungan linear daripada ⟨W⟩, kita tidak memperoleh sebarang gabungan baharu.

• Katakan kita mempunyai suatu ruang vektor V dan dua subset ruang ini (tidak semestinya subruang), W₁ dan W₂, iaitu W₁, W₂ ⊆ V. Jika W₁ ⊆ W₂ juga, maka ⟨W₁⟩ ⊆ ⟨W₂⟩.

  Dengan kata lain: jika kita mempunyai dua set vektor dan salah satu daripadanya lebih kecil, maka rentangan linear bagi set yang lebih kecil itu lebih kecil daripada atau sama dengan rentangan linear bagi set yang lebih besar.

  Contoh: katakan W₁ = {(1, 0, 0)} dan W₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Kita lihat bahawa W₁ ⊆ W₂. Apakah rentangan linear bagi kedua-duanya?

  $$\begin{array}{rcl}⟨W_1⟩& =& \{(a,0,0)|a\in \mathbb{R}\}\\ ⟨W_2⟩& =& \{(a,b,0)|a,b\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

  Set vektor W₂ “menjana rentangan yang lebih besar” daripada set W₁, seperti yang kita jangkakan. Set W₂ mengandungi semua vektor daripada set W₁, jadi semua gabungan linear vektor daripada W₁ juga dapat dijana daripada vektor dalam W₂.

  Contoh lain: W₃ = {(1, 2, 0)} dan W₄ = {(1, 2, 0), (5, 10, 0)}. Sekali pandang, jelas bahawa vektor dalam W₄ bersandar. Oleh itu, kedua-dua set menjana rentangan yang sama. Jadi, walaupun W₃ ⊂ W₄, berlaku ⟨W₃⟩ = ⟨W₄⟩.