Fungsi trigonometri

Dalam artikel ini kita akan membincangkan fungsi trigonometri. Perkataan trigonometri berasal daripada bahasa Yunani: “trigonon” bermaksud segi tiga dan “metron” bermaksud ukuran. Kadangkala istilah goniometri, iaitu pengukuran sudut, juga digunakan. Terdapat empat fungsi trigonometri asas, iaitu sinus, kosinus, tangen dan kotangen.

Istilah asas tentang segi tiga

Fungsi trigonometri berkaitan dengan sudut dalam segi tiga. Oleh itu, dalam bahagian ini kita mengulang kaji istilah yang berkaitan dengan segi tiga.

Rajah menunjukkan segi tiga yang dibentuk oleh bucu A, B dan C, jadi segi tiga ini ialah segi tiga ABC. Terdapat tiga sisi: AB, BC, AC. Perhatikan juga bahawa sisi-sisi ini turut dinamakan dengan huruf kecil. Penamaan ini mempunyai peraturan: bertentangan dengan bucu A ialah sisi a, bertentangan dengan bucu B ialah sisi b, dan bertentangan dengan bucu C ialah sisi c. Jadi, setiap bucu memberikan namanya kepada sisi yang bertentangan dengannya, iaitu sisi yang tidak melalui bucu itu.

Setiap segi tiga mempunyai tiga sudut pedalaman yang biasanya ditandakan dengan huruf Yunani alfa α, beta β dan gama γ. Hasil tambah ketiga-tiga sudut pedalaman mesti sentiasa 180 darjah. Biasanya sudut alfa terletak pada bucu A, beta pada B dan gama pada C.

Walaupun fungsi trigonometri boleh digunakan dalam sebarang segi tiga, kita sering hanya menggunakan segi tiga bersudut tegak. Segi tiga bersudut tegak ialah segi tiga yang mempunyai satu sudut tegak, iaitu sudut 90 darjah. Contohnya seperti ini:

Sisi-sisi segi tiga bersudut tegak mempunyai nama khas. Sisi yang paling panjang terletak bertentangan dengan sudut tegak dan dipanggil hipotenus (sisi biru dalam rajah). Dua sisi yang lebih pendek ialah sisi yang mengapit sudut tegak (sisi merah). Segi tiga inilah yang paling penting dalam artikel ini.

Sisi bertentangan dan sisi bersebelahan

Mari kita beralih kepada fungsi trigonometri yang pertama, iaitu fungsi sinus. Semua fungsi trigonometri menunjukkan hubungan antara suatu sudut dalam segi tiga dengan nisbah panjang dua sisi. Biasanya sudut itu bukan sudut tegak, tetapi salah satu daripada dua sudut yang lain. Jadi, input fungsi trigonometri ialah saiz sudut dan outputnya ialah nisbah dua sisi tertentu. Fungsi-fungsi itu berbeza mengikut sisi yang digunakan.

Fungsi sinus menggunakan sisi bertentangan dan hipotenus. Rajah berikut menunjukkan maksud sisi bersebelahan dan sisi bertentangan bagi suatu sudut.

Dalam rajah ini kita menggunakan sudut beta, iaitu sudut pada bucu B. Sisi hitam ialah hipotenus dan tiada apa-apa yang berubah padanya. Sisi c yang berwarna merah ialah sisi bersebelahan, kerana sisi ini bersebelahan dengan sudut beta. Sisi b yang berwarna biru ialah sisi bertentangan, kerana sisi ini bertentangan dengan sudut beta. Perkara yang penting ialah istilah ini sentiasa merujuk kepada suatu sudut. Jika kita melihat rajah dari sudut gama, kita memperoleh hasil berikut:

Fungsi sinus

Sinus sudut alfa sama dengan nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang hipotenus. Apakah maksudnya? Jika kita mengira sinus sudut alfa (misalnya dengan kalkulator), kita memperoleh nilai hasil bahagi

$$\sin (\alpha )=\frac{\text{Panjang sisi bertentangan}}{\text{Panjang hipotenus}}$$

Mari kita cuba pada segi tiga ini dan sudut beta: Segi tiga ini cantik, panjang sisinya ialah |a| = 5, |b| = 3 dan |c| = 4. Sisi bertentangan bagi sudut beta ialah sisi b, dan hipotenus ialah sisi a. Kita kira hasil bahagi b/a, iaitu 3/5, yang sama dengan 0.6. Jadi, sinus sudut beta ialah 0.6. Saiz sudut beta ialah 36° 52′. Jika anda memasukkan sudut ini ke dalam kalkulator dan mengira sinusnya, anda akan memperoleh 0.6 (selepas sedikit pembundaran).

Kegunaannya

Fungsi ini berguna apabila anda mengetahui satu sudut dan panjang satu sisi, dan perlu mencari panjang sisi-sisi yang lain.

Pertama, kita tulis apa yang kita ketahui. Kita mengetahui sudut alfa. Kita tahu bahawa sinus sudut ini sama dengan nisbah sisi bertentangan (iaitu sisi a) kepada hipotenus (sisi b). Secara matematik:

$$\sin (\alpha )=\frac{|a|}{|b|}$$

Kita mengetahui sinus sudut itu, atau sekurang-kurangnya dapat mengiranya, dan kita mengetahui panjang sisi a. Satu-satunya yang tidak diketahui ialah panjang sisi b. Jadi, kita cuba menjadikan pemboleh ubah ini sebagai perkara rumus. Pertama, kita darab persamaan dengan panjang sisi b. Kita memperoleh

$$|b|\cdot \sin (\alpha )=|a|$$

dan sekarang kita hanya perlu membahagi persamaan dengan sin(α) untuk memperoleh bentuk yang dikehendaki, dengan panjang sisi b di sebelah kiri:

$$|b|=\frac{|a|}{\sin (\alpha )}.$$

Panjang sisi a diketahui, iaitu tiga. Sinus tiga puluh darjah sama dengan setengah. Kita gantikan:

$$|b|=\frac{3}{0.5}=6$$

Panjang sisi b ialah enam.

Fungsi kosinus

Kosinus sangat serupa dengan fungsi sinus. Istilah yang berkaitan dengan fungsi kosinus sama seperti dalam bahagian sebelum ini, jadi mari kita terus kepada takrifnya:

Kosinus sudut alfa sama dengan nisbah panjang sisi bersebelahan kepada panjang hipotenus. Jadi, jika kita mengira kosinus sudut alfa dengan kalkulator, kita memperoleh nilai hasil bahagi

$$\mathrm{kos}(\alpha )=\frac{\text{panjang sisi bersebelahan}}{\text{panjang hipotenus}}.$$

Rajah berikut menunjukkan dengan jelas perbezaan antara sinus dengan kosinus:

Kedua-dua fungsi menggunakan hipotenus segi tiga, yang kekal berwarna hitam. Sinus menggunakan sisi bertentangan, iaitu, bagi sudut alfa, sisi merah BC. Kosinus menggunakan sisi bersebelahan, iaitu sisi biru AB.

Mari kita kembali kepada contoh dalam bahagian sebelum ini. Kita perlu mengira panjang hipotenus apabila panjang sisi a diketahui. Sekarang kita cuba mengira panjang sisi c jika kita mengetahui sudut alfa dan panjang hipotenus yang baru kita kira dalam contoh tadi: b = 6.

Apakah yang kita ketahui? Sudut alfa ialah 30 darjah, panjang sisi b ialah enam, dan kosinus memberikan nisbah sisi bersebelahan kepada hipotenus. Sisi bersebelahan ialah sisi c, iaitu sisi yang panjangnya hendak dicari. Kita tulis:

$$\mathrm{kos}(\alpha )=\frac{|c|}{|b|}$$

Kita perlu menjadikan |c| sebagai perkara rumus. Untuk itu, kita darab persamaan dengan panjang sisi b, dan di sebelah kanan hanya tinggal panjang sisi c:

$$|b|\cdot \mathrm{kos}(\alpha )=|c|$$

Kita tukar sisi persamaan:

$$|c|=|b|\cdot \mathrm{kos}(\alpha )$$

Di sebelah kanan terdapat ungkapan yang sama ada diketahui atau dapat dikira. Kosinus tiga puluh darjah lebih kurang 0.866. Kita gantikan ke dalam persamaan:

$$|c|=6\cdot 0.866=5.196$$

Itulah panjang sisi c. Seperti yang akan kita lihat nanti, kosinus tiga puluh darjah ialah nilai sudut khas yang sama dengan

$$\mathrm{kos}({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}(=0.866025\dots ),$$

jadi panjang tadi boleh ditulis dengan lebih tepat sebagai:

$$|c|=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}.$$

Tangen dan kotangen

Terdapat dua lagi fungsi trigonometri, iaitu tangen dan kotangen. Perbezaan utamanya berbanding fungsi trigonometri tadi ialah tangen dan kotangen hanya menggunakan sisi yang mengapit sudut tegak, bukan hipotenus.

Tangen sudut alfa sama dengan nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang sisi bersebelahan. Tangen biasanya ditulis sebagai tan, dan di sesetengah negara juga tg.

$$\tan (\alpha )=\frac{\text{Panjang sisi bertentangan}}{\text{Panjang sisi bersebelahan}}$$

Kotangen sudut alfa sama dengan nisbah panjang sisi bersebelahan kepada panjang sisi bertentangan. Kotangen biasanya ditulis sebagai cot atau cotan, dan dalam buku teks di Malaysia sebagai kot.

$$\mathrm{kot}(\alpha )=\frac{\text{Panjang sisi bersebelahan}}{\text{Panjang sisi bertentangan}}$$

Istilahnya sama seperti dalam bahagian sebelum ini dan cara menggunakan fungsi ini juga sama. Mari kita kembali kepada contoh tadi dan cuba mengira panjang sisi c hanya daripada saiz sudut alfa dan panjang sisi a, iaitu a = 3.

Tangen ialah nisbah sisi bertentangan kepada sisi bersebelahan, jadi secara matematik:

$$\tan (\alpha )=\frac{|a|}{|c|}$$

Kita perlu mengira panjang sisi c, jadi kita mesti menjadikan |c| sebagai perkara rumus. Kita darab dengan |c| dan bahagi dengan tan(α), sama seperti dalam contoh-contoh tadi.

$$\begin{array}{rcl}\tan (\alpha )& =& \frac{|a|}{|c|}/\cdot |c|\\ |c|\cdot \tan (\alpha )& =& |a|/:\tan (\alpha )\\ |c|& =& \frac{|a|}{\tan (\alpha )}\end{array}$$

Kita gantikan nilai di sebelah kanan. Tangen tiga puluh darjah lebih kurang 0.5773.

$$|c|=\frac{3}{0.5773}=5.196.$$

Tangen tiga puluh darjah mempunyai nilai sudut khas, iaitu:

$$\tan ({30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{3},$$

jadi pengiraan tadi boleh dilakukan dengan tepat:

$$|c|=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{9}{\sqrt{3}}.$$

Nilai bagi sudut khas

Bagi sesetengah sudut yang “cantik”, sinus, kosinus, tangen dan kotangen mempunyai nilai yang cantik. Berikut ialah ringkasannya:

$$\begin{array}{ccccc}& \sin & \mathrm{kos}& \tan & \mathrm{kot}\\ 0^{\circ }& 0& 1& 0& \times \\ {30}^{\circ }& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{3}& \sqrt{3}\\ {45}^{\circ }& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& 1& 1\\ {60}^{\circ }& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}& \frac{\sqrt{3}}{3}\\ {90}^{\circ }& 1& 0& \times & 0\end{array}$$

Pautan

Konsep berkaitan di laman ini:

• Sudut berarah
• Radian