Fungsi trigonometri songsang

Supaya fungsi trigonometri asas benar-benar berguna, kita juga perlu mentakrifkan fungsi songsangnya. Fungsi-fungsi ini dipanggil fungsi trigonometri songsang, iaitu songsangan sinus, songsangan kosinus, songsangan tangen dan songsangan kotangen. Secara ringkas, fungsi-fungsi ini ditulis sebagai arcsin, arccos, arctan dan arccot, atau dalam buku teks di Malaysia sebagai sin⁻¹, kos⁻¹, tan⁻¹ dan kot⁻¹.

Motivasi

Mari kita mulakan dengan satu contoh. Hitung saiz sudut alfa:

Kita mengetahui panjang dua sisi segi tiga, iaitu sisi b = 3 dan sisi a = 6. Kita perlu mengira sudut alfa. Sisi a ialah hipotenus dan sisi b ialah sisi bertentangan bagi sudut alfa. Fungsi sinus menggunakan sisi bertentangan. Lebih tepat lagi, sinus sudut alfa sama dengan nisbah panjang sisi bertentangan kepada panjang hipotenus. Jadi, kita cuba menggantikan ke dalam rumus:

$$\sin (\alpha )=\frac{|b|}{|a|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

Sekarang kita tahu bahawa sinus sudut alfa sama dengan setengah. Persoalannya, bagaimanakah kita memperoleh sudut itu daripada nombor ini? Untuk itu kita memerlukan fungsi songsang bagi fungsi sinus. Fungsi sinus menerima sudut sebagai input dan memulangkan nisbah dua sisi. Tetapi sekarang kita memerlukan fungsi yang menerima nisbah dan memulangkan sudut.

Inilah yang dilakukan oleh fungsi trigonometri songsang. Sebelum kita mentakrifkan fungsi ini dengan betul, mari kita selesaikan contoh ini menggunakan Google, yang memberitahu kita bahawa songsangan sinus bagi setengah ialah 30 darjah. Jika anda mahu mengira contoh yang sama dengan kalkulator, songsangan sinus pada kalkulator biasanya ditulis sebagai sin⁻¹.

Fungsi songsang bagi sinus?

Mula-mula, perhatikan graf fungsi sinus:

Sekarang kita ulang kaji beberapa sifat fungsi. Fungsi f mempunyai fungsi songsang jika fungsi itu ialah fungsi satu kepada satu. Apakah maksudnya? Jika kita mengambil dua unsur berbeza x₁ dan x₂ daripada domain, imejnya f(x₁) dan f(x₂) mesti berbeza. Hal ini mesti benar bagi semua pasangan yang mungkin. Sifat ini mudah dibaca daripada graf: jika kita dapat melukis garis lurus yang selari dengan paksi-x dan menyilang graf fungsi f lebih daripada sekali, fungsi itu bukan fungsi satu kepada satu.

Jelas sekali bahawa bagi fungsi sinus kita dapat mencari garis seperti itu. Misalnya, paksi-x sendiri menyilang graf fungsi sinus lebih daripada sekali, malah tak terhingga kali. Oleh itu, fungsi sinus bukan fungsi satu kepada satu dan tidak mempunyai fungsi songsang.

Fungsi songsang bagi sekatan fungsi sinus

Daripada bahagian sebelum ini, kita tahu bahawa fungsi sinus tidak mempunyai fungsi songsang. Namun, daripada bahagian pertama, kita tahu bahawa terdapat fungsi arcsin yang berkelakuan tepat seperti yang kita mahu. Bagaimanakah hal ini dicapai? Kita memilih sebahagian sahaja daripada fungsi sinus, iaitu bahagian yang satu kepada satu, lalu mentakrifkan fungsi songsang bagi sekatan fungsi ini.

Fungsi sinus disekat dengan mengecilkan domainnya. Subset manakah daripada domain asal (nombor nyata) yang patut dipilih? Kita boleh memilih beberapa subset, tetapi pilihan terbaik ialah selang

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Selang ini ditunjukkan dalam rajah berikut:

Pada domain ini kita sudah dapat mentakrifkan fungsi songsang, kerana pada selang ini fungsi sinus ialah fungsi satu kepada satu. Graf fungsi songsang simetri dengan graf fungsi asal pada garis yang membahagi dua sama sukuan I dan sukuan III. Jadi, kita sudah dapat melukis graf fungsi songsang bagi sekatan fungsi sin(x) kita. Perhatikan rajah ini:

Sinus asal dilukis dengan warna biru. Bahagian fungsi yang fungsi songsangnya kita cari ditandakan dengan warna merah. Warna hijau menunjukkan fungsi songsang yang ditulis sebagai arcsin atau hanya asin, dan dalam buku teks di Malaysia sebagai sin⁻¹.

Domain dan julat bagi sin⁻¹

Kedua-dua fungsi ini menggambarkan dengan baik bagaimana domain dan julat bertukar tempat. Lihat rajah berikut. Graf-grafnya sama dengan warna yang sama, cuma dibesarkan sedikit dan ditambah beberapa garis dan titik:

Perhatikan bahawa domain bagi sekatan fungsi sinus (garis merah) ialah selang

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Domain ialah semua nilai x yang menjadikan fungsi itu tertakrif. Kita mentakrifkan fungsi ini hanya pada selang ini supaya memperoleh fungsi satu kepada satu. Pada graf, kita mencari nilai x ini pada paksi-x.

Sekarang lihat julat fungsi arcsin (garis hijau). Julat ialah semua y yang boleh dipulangkan oleh fungsi sebagai output, jadi kita mencarinya pada paksi-y. Julat fungsi arcsin juga ialah selang

$$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$$

Ini ialah sifat umum fungsi songsang, jadi perkara ini tidak sepatutnya mengejutkan. Hal yang serupa berlaku bagi julat sekatan fungsi sinus dan domain arcsin. Julat fungsi sinus ialah selang dari negatif satu hingga satu. Sinus hanya boleh memulangkan nilai-nilai ini: sinus mana-mana sudut tidak lebih besar daripada satu dan tidak lebih kecil daripada negatif satu. Oleh sebab sinus mana-mana sudut tidak boleh lebih besar daripada satu, logiklah bahawa fungsi songsangnya juga tidak boleh menerima input yang lebih besar daripada satu. Oleh itu, domain fungsi arcsin juga ialah selang [−1, 1].

Nilai fungsi arcsin boleh anda kira dengan kalkulator di laman ini.

Songsangan kosinus

Sekarang secara ringkas tentang fungsi songsang bagi kosinus. Atas sebab yang sama seperti fungsi sinus, fungsi songsangnya tidak wujud, kerana fungsi kosinus bukan fungsi satu kepada satu. Namun, kita boleh memilih subset domain dan memperoleh fungsi satu kepada satu.

Graf fungsi kosinus ditandakan dengan warna biru, dan bahagian merah ialah sekatan fungsi ini pada domain [0, π]. Garis hijau ialah graf fungsi arccos(x), iaitu fungsi songsang bagi sekatan fungsi kosinus kita.

Songsangan tangen

Graf fungsi tangen kelihatan seperti berikut:

Bentuk graf ini berbeza daripada fungsi-fungsi tadi, tetapi fungsi ini masih bukan fungsi satu kepada satu. Sekali lagi kita boleh menyekat fungsi ini dan memilih bahagian yang satu kepada satu. Kita pilih selang terbuka

$$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$$

Fungsi songsangnya kelihatan seperti berikut:

Songsangan kotangen

Semuanya sama seperti dalam perenggan sebelum ini. Graf fungsi kotangen: Domain bagi sekatan fungsi kotangen ialah selang terbuka (0, π).