Min geometri

Bayangkan anda ingin membeli sebuah kereta sport baharu. Sudah lama anda mengidamkannya, dan setiap tahun anda mencatat kenaikan harganya berbanding tahun sebelumnya. Pada tahun pertama, harga kereta itu RM200 000. Pada tahun kedua, harganya naik 25%, tahun berikutnya naik 5%, tahun keempat naik 10% dan sekarang, pada tahun kelima, harganya naik 20%. Kita boleh mengira harga kereta itu sekarang dengan menukar peratusan kepada faktor darab harga. Jadi, “naik 25%” ditulis sebagai “harga asal didarab dengan 1.25”. Harga semasa kereta sport itu ialah

$$200000\cdot 1.25\cdot 1.05\cdot 1.1\cdot 1.2=346500$$

Selepas lima tahun, harga kereta itu ialah 346 500 ringgit. Sekarang kita boleh bertanya: berapakah purata kenaikan harga kereta itu setiap tahun? Pada tahun pertama harganya naik 1.25 kali, pada tahun kedua 1.05 kali, dan seterusnya. Berapakah purata kenaikannya? Jika kita menggunakan min aritmetik biasa, kita akan mendapat jawapan yang tidak masuk akal. Min aritmetik bagi nilai-nilai 1.25, 1.05, 1.1 dan 1.2 ialah

$$\frac{1.25+1.05+1.1+1.2}{4}=\frac{4.6}{4}=1.15$$

Mari kita cuba mengira harga kereta itu jika harganya naik 1.15 kali selama empat tahun berturut-turut:

$$200000\cdot 1.15\cdot 1.15\cdot 1.15\cdot 1.15=349801.25$$

Nombor yang diperoleh berbeza! Maksudnya, 1.15 (iaitu 15%) bukan jawapan yang betul. Nilai ini bukan purata kenaikan harga tahunan yang betul. Jadi, min aritmetik tidak dapat menjawab soalan ini. Kita perlu menggunakan min geometri.

Cara mengira min geometri

Berapa peratuskah harga kereta itu naik dalam tempoh lima tahun tersebut? Kita kiranya dengan mendarab semua faktor kenaikan:

$$1.25\cdot 1.05\cdot 1.1\cdot 1.2=1.7325$$

Jadi, selepas empat tahun, harga kereta sport itu naik 1.7325 kali. Sekarang soalan kita sebenarnya ialah: nombor apakah yang, apabila didarab dengan dirinya sendiri sebanyak empat kali, memberikan 1.7325? Nombor itu ialah punca kuasa empat bagi 1.7325. Mari kita cuba:

$$\sqrt[4]{1.25\cdot 1.05\cdot 1.1\cdot 1.2}=\sqrt[4]{1.7325}\approx 1.147277$$

Sekarang kita darab harga kereta itu dengan nombor ini sebanyak empat kali:

$$200000\cdot \sqrt[4]{1.7325}\cdot \sqrt[4]{1.7325}\cdot \sqrt[4]{1.7325}\cdot \sqrt[4]{1.7325}=346500$$

Kali ini jawapannya tepat. Jadi, nombor $\sqrt[4]{1.7325}$ ialah purata kenaikan harga tahunan yang betul.

Rumus min geometri

Jika kita mempunyai n nombor x₁, x₂, …, x_n, min geometri G dikira seperti berikut:

$$G=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot \dots \cdot x_n}$$

Rumus ini juga boleh ditulis secara setara seperti berikut:

$$G=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

Sebagai contoh, min geometri bagi nombor 1, 2, 3, 4, 5 dikira seperti berikut:

$$\sqrt[5]{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}=\sqrt[5]{120}\approx 2.6$$