Paradoks positif palsu

Seorang pesakit menjalani ujian bagi sejenis penyakit, dan ujian itu memberikan keputusan positif, iaitu ujian menyatakan bahawa pesakit itu menghidap penyakit tersebut. Tetapi sebenarnya kebarangkalian dia benar-benar menghidap penyakit itu mungkin jauh lebih kecil daripada kebarangkalian dia tidak menghidapinya.

Kisah

Sejenis selesema baharu telah muncul di Kuala Lumpur. Seorang pelajar matematik universiti pergi berjumpa doktor, dan doktor itu mengujinya untuk menentukan sama ada dia dijangkiti selesema tersebut. Ujian ini mempunyai kadar kejayaan 99.95%. Seminggu kemudian, pelajar itu dimaklumkan bahawa keputusan ujiannya positif. Dia bersedih seketika kerana ujian itu mempunyai kadar kejayaan 99.95%, jadi peluang ujian itu tersilap hanyalah 0.05%. Tetapi kemudian dia mula mengira dan bersorak gembira. Dia mendapati bahawa kebarangkalian dia benar-benar dijangkiti selesema itu hanyalah kira-kira 17%. Bagaimanakah hal ini boleh berlaku?

Mari kita teliti keseluruhannya. Untuk memudahkan, bayangkan ujian khayalan kita berfungsi seperti berikut. (Dalam praktik, sukar bagi mana-mana ujian untuk mempunyai kadar kejayaan 100%, tetapi demi kemudahan, kita andaikan begitu.)

• Jika anda menghidap penyakit itu, ujian menyatakan bahawa anda sakit dalam 100% kes.
• Jika anda tidak menghidap penyakit itu, ujian berjaya dalam 99.95% kes. Jadi, walaupun anda tidak menghidap penyakit itu, dalam 0.05% kes ujian menyatakan bahawa anda menghidapinya.
• Jika ujian menyatakan bahawa anda tidak menghidap penyakit itu, anda pasti tidak sakit.
• Jika ujian menyatakan bahawa anda menghidap penyakit itu, keputusan itu mungkin benar atau mungkin silap.

Namun, itu bukan semua yang perlu kita ketahui. Kita juga perlu tahu berapa ramai orang yang sakit dalam populasi tersebut.

Ramai yang sakit

Sekarang kita lihat keputusan ujian dalam persekitaran yang berbeza. Dalam kes ini, keputusannya seperti yang dijangkakan. Bayangkan populasi A, dengan 200 daripada 10 000 orang benar-benar dijangkiti selesema itu, iaitu 2% orang dijangkiti. Kita menjalankan ujian ke atas satu juta orang. Maksudnya, 20 000 orang menghidap selesema itu dan yang lain tidak.

Oleh sebab ujian sentiasa berjaya jika seseorang menghidap penyakit itu, ujian menandakan 20 000 orang sebagai sakit. Tinggal 980 000 orang yang tidak menghidap penyakit itu. Di sini ujian mempunyai kadar kejayaan 99.95%, iaitu kadar kegagalan 0.05%, jadi ujian menandakan 980 000 · 0.0005 = 490 orang sebagai sakit walaupun mereka tidak sakit.

Secara keseluruhan, ujian menandakan 20 490 orang sebagai sakit. Tetapi daripada jumlah ini, hanya 20 000 orang yang benar-benar sakit. Jadi, kebarangkalian anda benar-benar menghidap penyakit itu ialah 20 000 / 20 490 = 0.9760858956, iaitu kira-kira 97.6%.

Sedikit yang sakit

Mari kita lihat populasi B, dengan hanya 1 daripada 10 000 orang sakit, iaitu 0.01% penduduk menghidap penyakit itu. Kita menjalankan ujian yang sama ke atas satu juta orang.

Daripada satu juta orang, hanya 100 orang yang sakit, dan ujian menandakan mereka sebagai sakit dengan betul. Tinggal 999 900 orang yang sihat. Disebabkan kesilapannya, ujian menandakan 0.05% daripada mereka sebagai sakit. Jadi, ujian menandakan 999 900 · 0.0005 ≈ 500 orang yang sihat sebagai sakit. Yang lain ditandakan sebagai sihat dengan betul.

Secara keseluruhan, ujian menandakan 100 + 500 = 600 orang sebagai sakit. Tetapi daripada mereka, hanya seratus orang yang benar-benar sakit, jadi kebarangkalian anda benar-benar menghidap penyakit itu hanyalah 100/600 = 1/6, iaitu kira-kira 17%. Walaupun ujian menandakan anda sebagai sakit, peluang anda tidak menghidap penyakit itu masih jauh lebih tinggi.

Seorang yang sakit

Hasil sebelumnya, iaitu jika ujian menandakan anda sebagai sakit, peluang anda benar-benar sakit hanyalah kira-kira 17%, mungkin mengejutkan sesetengah orang. Perkara ini lebih jelas jika kita membawa contoh ini ke tahap ekstrem.

Andaikan populasi satu juta orang, dan hanya seorang sahaja yang sakit. Ujian yang digunakan mempunyai kadar kejayaan 90% bagi orang yang sihat. Apakah maksudnya? Daripada 999 999 orang yang sihat, ujian menandakan 10% sebagai sakit, iaitu kira-kira seratus ribu orang. Namun, hanya seorang yang benar-benar sakit. Walaupun ujian menandakan anda, peluang anda benar-benar menghidap penyakit itu hanyalah 1/100000, iaitu kira-kira 0.001%.