Paradoks St. Petersburg

Paradoks St. Petersburg menggabungkan statistik, membuat keputusan dan kebarangkalian. Di St. Petersburg, seseorang menawarkan kita suatu permainan yang membolehkan kita memenangi sejumlah wang. Tugas kita ialah menentukan bayaran penyertaan yang adil bagi permainan ini.

Peraturan permainan

Apabila kita menyertai permainan, pengendali permainan mula melambung syiling. Jika lambungan pertama menunjukkan gambar, permainan tamat dan kita memenangi satu ringgit. Jika syiling menunjukkan angka, permainan diteruskan. Dalam pusingan kedua, syiling dilambung sekali lagi. Jika syiling menunjukkan gambar, permainan tamat dan kita memenangi dua kali ganda kemenangan sebelumnya, iaitu dua ringgit. Jika syiling menunjukkan angka, kita teruskan. Jika gambar muncul dalam pusingan ketiga, kita memenangi empat ringgit. Jika gambar muncul dalam pusingan keempat, kita memenangi lapan ringgit.

Secara am, jika gambar muncul dalam pusingan ke-k, kita memenangi 2^{k − 1} ringgit. Soalannya sekarang: berapakah bayaran penyertaan yang adil bagi permainan ini?

Nilai jangkaan

Harga yang adil sepatutnya ditentukan berdasarkan nilai jangkaan. Contohnya, jika secara purata kita boleh memenangi seratus ringgit, bayaran penyertaan sepatutnya seratus ringgit, atau sedikit lebih supaya penganjur mendapat untung. Tetapi berapakah nilai jangkaan dalam permainan kita? Kita senaraikan kebarangkalian bagi setiap kemenangan. Lajur pertama ialah kemenangan, dan lajur kedua ialah peluang kita mendapat kemenangan tersebut. Contohnya, peluang lambungan pertama menunjukkan gambar ialah $\frac{1}{2}$. Peluang mendapat angka dahulu, kemudian gambar, ialah $\frac{1}{4}$, dan seterusnya.

$$\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 2& 1/4\\ 4& 1/8\\ 8& 1/16\\ 16& 1/32\\ \dots & \dots \end{array}$$

Bagaimanakah kita mengira nilai jangkaan? Kita darab setiap jumlah wang yang boleh dimenangi dengan kebarangkalian memenanginya, kemudian menjumlahkan semuanya. Kita memperoleh:

$$\begin{array}{rcl}E& =& \frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2+\frac{1}{8}\cdot 4+\frac{1}{16}\cdot 8+\dots \\ & =& \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\dots \\ & =& \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Nilai jangkaan ialah infiniti. Jadi, dalam keadaan ideal, nilai jangkaan kemenangan ialah wang yang tak terhingga banyaknya. Kedengarannya tidak buruk. Masalahnya, bayaran penyertaan juga sepatutnya sama dengan infiniti. Hal ini tentu sahaja tidak masuk akal.

Pengkritik paradoks ini tentu sahaja membantah bahawa anda tidak boleh bermain untuk tempoh yang tak terhingga lamanya, kita tidak boleh memenangi wang yang tak terhingga banyaknya, dan walaupun anda “mengurangkan” bilangan maksimum lambungan syiling daripada infiniti kepada suatu nombor terhingga n, anda tetap akan cepat sampai kepada jumlah yang tidak dimiliki oleh sesiapa pun di dunia. Contohnya, selepas 41 lambungan anda akan memenangi 2⁴⁰ ringgit, iaitu kira-kira satu trilion ringgit (seribu bilion ringgit). Selepas sepuluh lambungan lagi, anda akan memenangi seribu kali ganda wang itu.

Bayaran penyertaan yang terhingga

Tentu sahaja tiada sesiapa akan membayar wang yang tak terhingga banyaknya sebagai bayaran penyertaan. Namun, paradoks ini sebahagiannya boleh ditunjukkan dengan jumlah wang yang terhingga. Bagi setiap jumlah dalam ringgit penuh, terdapat bilangan maksimum lambungan syiling yang menghasilkan nilai jangkaan yang kita perlukan. Contohnya, jika kita mahu bayaran penyertaan seribu ringgit, kita tetapkan bilangan maksimum lambungan syiling sebagai 2000. Kemudian kita mengira hasil tambah berikut:

$$\sum _{k=1}^{2000}\frac{1}{2}=2000\cdot \frac{1}{2}=1000$$

Nilai jangkaan ialah 1000 ringgit. Jika kita mahu bayaran penyertaan sebanyak D ringgit, kita tetapkan bilangan maksimum lambungan syiling sebagai 2D.

Tentu sahaja, tiada orang yang waras akan membayar bayaran penyertaan, misalnya seribu ringgit, jika peluangnya untuk memenangi lebih daripada seribu ringgit amat kecil.

Sumber lain

• Wikipedia bahasa Inggeris