Медицински парадокс

Пациент се подлага на тест за някаква болест и този тест връща положителен резултат, т.е. тестът отговаря, че пациентът има болестта. В действителност обаче вероятността той наистина да има болестта може да е много по-малка от вероятността да не я има.

История

Случи се така, че в София се появи свински грип. Студент по математика отива при лекаря, който го подлага на тест дали има този грип, или няма. Този тест има точност 99,95%. След седмица студентът научава, че тестът е излязъл положителен. За момент се натъжава, тестът все пак има 99,95% точност, така че шансът да е сбъркал е само 0,05%. После обаче започва да пресмята и ликува. Установява, че вероятността наистина да има свински грип е само около 17%. Как е възможно това?

Нека разгледаме всичко подробно. За простота си представяме, че нашият въображаем тест би могъл да работи така. (На практика трудно някой тест би могъл да има 100% точност, но за простота нека го допуснем.)

• Ако имаш болестта, тестът в 100% от случаите ти казва, че си болен.
• Ако нямаш болестта, тестът е верен в 99,95% от случаите. Т.е. дори да нямаш болестта, в 0,05% от случаите тестът казва, че я имаш.
• Ако тестът обяви, че нямаш болестта, със сигурност не си болен.
• Ако тестът обяви, че имаш болестта, това може да е истина, но и грешка.

Това обаче не е всичко, което трябва да знаем. Трябва да знаем още колко са болните в дадената популация.

Много болни

Нека сега видим как се държи тестът в различни среди. В този случай резултатът е очакван. Представи си популация A, в която 200 души от 10 000 наистина имат свински грип, т.е. 2% от хората са заразени. Правим теста на един милион души. Това означава, че 20 000 души имат грип, останалите нямат.

Тъй като тестът винаги е верен, когато човек има дадената болест, той отбелязва 20 000 души като болни. Остават 980 000 души, които нямат болестта. Тук тестът има точност 99,95%, т.е. има 0,05% грешка, така че отбелязва 980 000 · 0,0005 = 490 души като болни, въпреки че не са болни.

В общия сбор така тестът отбелязва 20 490 души като болни. От тях обаче болни са само 20 000 души. Вероятността наистина да имаш болестта е така 20 000 / 20 490 = 0,9760858956, което е приблизително 97,6%.

Малко болни

Да погледнем популация B, в която е болен само 1 от 10 000, т.е. болестта имат 0,01% от жителите. Правим същия тест на един милион души.

От един милион души болни са само 100 души – тези хора тестът правилно отбелязва като болни. Остават ни 999 900 души, които са здрави. От тези хора тестът отбелязва 0,05% като болни поради грешката си. Така тестът отбелязва 999 900 · 0,0005 ≈ 500 здрави хора като болни. Останалите са правилно отбелязани като здрави.

В общия сбор отбелязва 100 + 500 = 600 души като болни. От тези хора обаче наистина болни са само сто, така че вероятността наистина да имаш болестта е само 100/600 = 1/6, приблизително 17%. Дори тестът да те е отбелязал като болен, пак имаш много по-голям шанс да нямаш болестта.

Един болен

Предишният резултат, че ако тестът те отбележи като болен, в действителност имаш само около 17% шанс да си наистина болен, може да е изненадващ за някого. Още по-добре се вижда това, ако доведем примера до крайност.

Да предположим популация от един милион души, от които е болен само един-единствен човек. Тестът, с който се тестваме, има при здравите хора 90% точност. Какво означава това? Че от 999 999 здрави хора тестът отбелязва 10% като болни, т.е. отбелязва приблизително сто хиляди души като болни. А наистина болен е само един човек. Дори тестът да те отбележи, имаш само 1/100000 шанс наистина да имаш болестта, т.е. приблизително 0,001%.