Paradoks tali leher

Dua orang ahli perniagaan yang kaya, Encik Ahmad dan Encik Muthu, bertemu semasa bercuti di Dubai. Selepas beberapa cawan kopi yang mahal, mereka membuat perjanjian tentang siapa yang memakai tali leher yang lebih mahal.

Soalan

Seperti yang kita ketahui, selepas beberapa cawan kopi, Ahmad dan Muthu membuat perjanjian tentang siapa yang memakai tali leher yang lebih mahal. Tali leher itu ialah hadiah hari jadi daripada isteri masing-masing, dan mereka sendiri tidak tahu harganya. Perjanjian mereka berbunyi seperti berikut: mereka akan bertanya harga tali leher kepada isteri masing-masing, dan orang yang memakai tali leher yang lebih murah akan mendapat tali leher orang yang satu lagi. Jadi, jika tali leher Ahmad lebih murah daripada tali leher Muthu, Ahmad mendapat tali leher Muthu, dan sebaliknya. Soalan pertama: adakah salah seorang daripada mereka berada dalam kedudukan yang lebih menguntungkan? Adakah berbaloi bagi salah seorang daripada mereka untuk bersetuju dengan perjanjian ini, atau adakah peluang kedua-duanya sama?

Penyelesaian palsu

Mungkin ya. Seterusnya kita andaikan harga kedua-dua tali leher berbeza. Hal ini tidak mengubah penyelesaian kerana jika harganya sama, tiada sesiapa akan mendapat tali leher orang lain. Mari kita kira bersama: tali leher Ahmad berharga X ringgit. Dia tidak tahu apa-apa tentang tali leher Muthu dan tidak mempunyai sebarang petunjuk lain, jadi kebarangkalian tali lehernya lebih murah ialah 50%, dan kebarangkalian tali lehernya lebih mahal juga 50%. Jadi, jika tali leher Ahmad lebih mahal, dia kehilangan X ringgit. Tetapi jika tali lehernya lebih murah, dia memperoleh lebih daripada X ringgit. Kedua-duanya dengan kebarangkalian 50%: dia mempunyai peluang 50% untuk kehilangan X ringgit dan peluang 50% untuk memperoleh lebih daripada X ringgit.

Dengan kebarangkalian yang sama, dia boleh memenangi lebih banyak wang (tali leher yang lebih mahal) daripada yang boleh hilang. Dan hal ini berbaloi! Nampaknya semuanya berjalan lancar bagi Ahmad dan lebih baik baginya untuk bersetuju dengan perjanjian ini. Dia boleh memperoleh lebih banyak daripada yang boleh hilang.

Tetapi, seperti yang anda mungkin sudah agak, Muthu juga boleh membuat penaakulan yang sama. Muthu juga mempunyai peluang 50% untuk kehilangan tali lehernya yang berharga Y dan peluang 50% untuk memenangi tali leher yang berharga lebih daripada Y.

Jelas sekali, kedua-dua peserta tidak mungkin sama-sama untung dalam perjanjian yang sama; pasti ada sesuatu yang salah.

Penyelesaian

Pertama, kita senaraikan apa yang sebenarnya boleh dimenangi oleh setiap orang. Kita gantikan harga tali leher dengan nilai tertentu. Untuk memudahkan, andaikan hanya terdapat dua tali leher, berharga 300 dan 400 ringgit. Dari sudut pandangan Ahmad, kes berikut boleh berlaku:

• Tali leher Ahmad berharga 300 dan tali leher Muthu 400 → Ahmad memperoleh 400.
• Tali leher Ahmad berharga 400 dan tali leher Muthu 300 → Ahmad kehilangan 400.

(Kes harga tali leher sama telah kita kecualikan, tetapi hal itu tidak perlu: dalam kes itu tiada sesiapa yang menang.)

Seperti yang dapat dilihat, perjanjian ini sentiasa melibatkan jumlah wang yang sama: Ahmad sama ada memperoleh 400 atau kehilangan 400. Sudah tentu hal ini tidak bergantung pada harga tertentu. Jika anda menggantikan jumlah 25 dan 35, perjanjian ini sentiasa melibatkan 35 ringgit. Jadi, tanpa maklumat tambahan, tiada sesiapa yang untung dengan bersetuju (atau tidak bersetuju) dengan perjanjian ini.

Jika terdapat tiga tali leher yang berbeza, katakan berharga 200, 300 dan 400, bilangan kemungkinan bertambah sedikit. Pertama, kemenangan Ahmad, kemudian kekalahannya:

• Tali leher Ahmad berharga 200 dan tali leher Muthu 300 → Ahmad memperoleh 300.
• Tali leher Ahmad berharga 200 dan tali leher Muthu 400 → Ahmad memperoleh 400.
• Tali leher Ahmad berharga 300 dan tali leher Muthu 400 → Ahmad memperoleh 400.
• Tali leher Ahmad berharga 300 dan tali leher Muthu 200 → Ahmad kehilangan 300.
• Tali leher Ahmad berharga 400 dan tali leher Muthu 200 → Ahmad kehilangan 400.
• Tali leher Ahmad berharga 400 dan tali leher Muthu 300 → Ahmad kehilangan 400.

Semua kemungkinan ini sama mungkin. Seperti yang dapat dilihat, Ahmad boleh memperoleh jumlah wang yang sama dengan jumlah yang boleh hilang. Jadual yang serupa diperoleh bagi lebih banyak tali leher: Ahmad sentiasa boleh kehilangan jumlah wang yang sama dengan jumlah yang boleh diperolehnya. Oleh sebab semua kemungkinan sama mungkin, tiada peserta yang rugi.

Kesilapan utama Ahmad ialah dia menganggap harga tali lehernya tetap. Hal ini tidak boleh dilakukan kerana, seperti yang dapat dilihat dalam contoh dengan dua tali leher, harga tali lehernya apabila dia kalah berbeza daripada harga tali lehernya apabila dia menang. Begitu juga dalam contoh dengan tiga tali leher: apabila Ahmad menang, harga tali lehernya diambil daripada set {200, 300}, tetapi apabila dia kalah, harganya diambil daripada set {300, 400}. Namun, Ahmad terus mengira dengan jumlah yang tetap.