Paradoks hari jadi

Berapa ramai orang perlu berada dalam sebuah kelas atau di sebuah majlis supaya, dengan kebarangkalian sekurang-kurangnya 50%, terdapat dua orang yang mempunyai hari jadi pada hari yang sama? Tahun tidak diambil kira, hanya hari dan bulan. Gerak hati kebanyakan orang membisikkan nombor sekitar 183, iaitu separuh tahun. Jawapan yang betul ialah 23.

Hal ini hanya kelihatan seperti paradoks. Tiada percanggahan sebenarnya, cuma gerak hati kita menarik kita ke arah yang salah sama sekali.

Mengapa begitu sedikit?

Apabila mendengar soalan tentang hari jadi yang sama, kita biasanya memikirkan diri sendiri: adakah sesiapa mempunyai hari jadi yang sama dengan saya? Tetapi soalannya berbeza. Kita tidak mencari padanan dengan saya, tetapi padanan antara mana-mana dua orang dalam kumpulan itu.

Bilangan pasangan dalam sesuatu kumpulan jauh lebih banyak daripada yang disangka. Dalam kumpulan 23 orang, setiap orang boleh membentuk pasangan dengan 22 orang yang lain. Hal ini memberikan 23 · 22, tetapi setiap pasangan telah dikira dua kali (Siti dengan Ahmad dan Ahmad dengan Siti), jadi bilangan pasangan ialah

$$\frac{23\cdot 22}{2}=253.$$

Nilai ini sama dengan pekali binomial $(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2})$. Setiap pasangan memberikan satu peluang untuk padanan, dan 253 percubaan sudah agak banyak.

Cara mengiranya

Andaikan setahun mempunyai 365 hari, 29 Februari diabaikan dan setiap hari sama mungkin. Sebenarnya bilangan kelahiran sedikit berbeza sepanjang tahun, tetapi hal ini hampir tidak mempengaruhi hasilnya.

Mengira secara langsung kes sekurang-kurangnya dua orang mempunyai hari jadi yang sama sangat memenatkan. Mungkin dua orang sama, mungkin tiga, mungkin dua pasangan yang berbeza… Oleh itu, kita mengambil jalan pintas melalui peristiwa pelengkap: kita hitung kebarangkalian bahawa semua orang mempunyai hari jadi pada hari yang berbeza, kemudian menolaknya daripada satu.

Kita mulakan dengan tiga orang. Orang pertama boleh mempunyai hari jadi pada mana-mana hari, iaitu $\frac{365}{365}$. Hari jadi orang kedua mesti jatuh pada hari yang berbeza daripada orang pertama, jadi hanya 364 daripada 365 hari yang tinggal. Bagi orang ketiga, kedua-dua hari yang sudah diambil tidak boleh dipilih, jadi tinggal 363 hari. Darab kebarangkalian ini:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\approx 0.9918$$

Kebarangkalian bahawa dua daripada tiga orang mempunyai hari jadi yang sama ialah 1 − 0.9918 = 0.0082, iaitu kurang daripada satu peratus.

Bagi 23 orang, langkahnya sama, cuma lebih banyak pecahan. Orang ke-23 mempunyai 365 − 22 = 343 hari untuk dipilih:

$$\frac{365}{365}\cdot \frac{364}{365}\cdot \frac{363}{365}\cdot \dots \cdot \frac{343}{365}\approx 0.4927$$

Dengan kebarangkalian kira-kira 0.4927, semua orang mempunyai hari jadi pada hari yang berbeza. Tolak daripada satu:

$$1-0.4927=0.5073$$

Kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya dua daripada 23 orang mempunyai hari jadi pada hari yang sama ialah kira-kira 50.7%. Bagi 22 orang, kebarangkaliannya masih hanya 47.6%, jadi 23 ialah bilangan terkecil yang menjadikan peluang itu melebihi separuh.

Setiap orang tambahan meningkatkan kebarangkalian dengan cepat. Bagi 10 orang, kebarangkaliannya kira-kira 12%, bagi 30 orang kira-kira 71%, bagi 50 orang kira-kira 97% dan bagi 70 orang sudah melebihi 99.9%. Jika terdapat tiga puluh orang murid dalam sebuah kelas dan tiada dua orang yang berkongsi hari jadi, itu sebenarnya sedikit nasib.

Bagaimana dengan hari jadi saya?

Mari kita kembali kepada soalan yang pertama kali terlintas di fikiran orang: berapa ramai orang diperlukan supaya sekurang-kurangnya seorang daripada mereka mempunyai hari jadi pada hari yang sama dengan saya?

Di sini pengiraannya berbeza. Setiap seorang daripada n orang mempunyai hari jadi pada hari yang berbeza daripada saya dengan kebarangkalian $\frac{364}{365}$, tanpa bergantung pada orang lain. Kita mahu

$$1-{\left(\frac{364}{365}\right)}^n\ge \frac{1}{2}.$$

Bagi n = 252, kita memperoleh kira-kira 0.4991, yang masih belum mencukupi. Bagi n = 253, kita memperoleh kira-kira 0.5005, jadi kita memerlukan 253 orang. Menariknya, bilangan ini sama dengan bilangan pasangan dalam kumpulan 23 orang. Hal ini bukan kebetulan sepenuhnya: 253 pasangan bermaksud 253 peluang untuk padanan, sama seperti 253 orang yang dibandingkan dengan saya. Namun, nombor yang sama tepat itu memang sedikit nasib. Pasangan-pasangan itu juga saling mempengaruhi sedikit, dan itulah sebabnya bagi 23 orang kita memperoleh 50.7% dan bukan 50.05%.

Lihat juga

• Peristiwa pelengkap
• Kebarangkalian
• Gabungan
• Masalah tiga pintu