Paradoks positif palsu

Seorang pasien menjalani tes suatu penyakit, dan tes itu memberi hasil positif, artinya tes menyatakan bahwa pasien itu sakit. Namun, kenyataannya peluang pasien itu benar-benar sakit bisa jauh lebih kecil daripada peluang ia tidak sakit.

Cerita

Suatu hari di Jakarta muncul flu burung. Rizky, seorang mahasiswa matematika, pergi ke dokter, yang mengetesnya apakah ia terkena flu itu atau tidak. Tes ini mempunyai tingkat keberhasilan 99,95%. Seminggu kemudian Rizky mengetahui bahwa hasil tesnya positif. Sesaat ia sedih, karena tingkat keberhasilan tes itu 99,95%, jadi peluang tesnya keliru hanya 0,05%. Namun, kemudian ia mulai berhitung dan bersorak. Ia mendapati bahwa peluang ia benar-benar terkena flu burung hanya sekitar 17%. Bagaimana mungkin?

Mari kita bahas dari awal. Agar sederhana, bayangkan tes khayalan kita bekerja seperti ini. (Dalam praktik, sulit ada tes yang tingkat keberhasilannya 100%, tetapi agar sederhana, kita asumsikan begitu.)

• Jika kamu sakit, dalam 100% kasus tes menyatakan bahwa kamu sakit.
• Jika kamu tidak sakit, tes berhasil dalam 99,95% kasus. Jadi, meskipun kamu tidak sakit, dalam 0,05% kasus tes menyatakan bahwa kamu sakit.
• Jika tes menyatakan bahwa kamu tidak sakit, kamu pasti tidak sakit.
• Jika tes menyatakan bahwa kamu sakit, hasil itu bisa benar, bisa juga keliru.

Namun, itu belum semua yang perlu kita ketahui. Kita juga harus tahu berapa banyak penderita dalam populasi tersebut.

Banyak penderita

Sekarang kita lihat bagaimana hasil tes di lingkungan yang berbeda. Dalam kasus ini hasilnya sesuai harapan. Bayangkan populasi A yang 200 dari 10.000 orangnya benar-benar terkena flu burung, artinya 2% orang terinfeksi. Tes dilakukan pada satu juta orang. Artinya, 20.000 orang terkena flu dan sisanya tidak.

Karena tes selalu berhasil jika orang itu memang sakit, tes menyatakan 20.000 orang sakit. Tersisa 980.000 orang yang tidak sakit. Pada mereka tes berhasil 99,95%, artinya gagal 0,05%, sehingga tes menyatakan 980.000 · 0,0005 = 490 orang sakit, padahal mereka tidak sakit.

Secara keseluruhan, tes menyatakan 20.490 orang sakit. Dari jumlah itu, yang benar-benar sakit hanya 20.000 orang. Jadi, peluang kamu benar-benar sakit adalah 20.000 / 20.490 = 0,9760858956, yaitu sekitar 97,6%.

Sedikit penderita

Sekarang kita lihat populasi B yang penderitanya hanya 1 dari 10.000 orang, artinya penyakit itu diderita 0,01% penduduk. Tes yang sama dilakukan pada satu juta orang.

Dari satu juta orang, yang sakit hanya 100 orang, dan tes dengan benar menyatakan mereka sakit. Tersisa 999.900 orang yang sehat. Dari mereka, karena kesalahannya, tes menyatakan 0,05% sakit. Jadi, tes menyatakan 999.900 · 0,0005 ≈ 500 orang sehat sebagai orang sakit. Sisanya dengan benar dinyatakan sehat.

Secara keseluruhan, tes menyatakan 100 + 500 = 600 orang sakit. Namun, dari mereka yang benar-benar sakit hanya seratus orang, jadi peluang kamu benar-benar sakit hanya 100/600 = 1/6, sekitar 17%. Meskipun tes menyatakan kamu sakit, peluang kamu tidak sakit masih jauh lebih besar.

Satu penderita

Hasil tadi, bahwa jika tes menyatakan kamu sakit, peluang kamu benar-benar sakit hanya sekitar 17%, mungkin mengejutkan bagi sebagian orang. Hal ini akan terlihat lebih jelas jika contohnya kita bawa ke keadaan ekstrem.

Misalkan ada populasi satu juta orang, dan hanya satu orang di antaranya yang sakit. Tes yang kita pakai mempunyai tingkat keberhasilan 90% pada orang sehat. Apa artinya? Dari 999.999 orang sehat, tes menyatakan 10% sakit, yaitu sekitar seratus ribu orang. Padahal yang benar-benar sakit hanya satu orang. Meskipun tes menyatakan kamu sakit, peluang kamu benar-benar sakit hanya 1/100000, yaitu sekitar 0,001%.