Hukum Benford

Pada tahun 1881, ahli astronomi Amerika Simon Newcomb menyedari sesuatu yang pelik pada buku sifir logaritma. Halaman pertama, yang memuatkan nombor bermula dengan digit 1, jauh lebih lusuh berbanding halaman seterusnya. Tetapi mengapa orang lebih kerap mencari nombor yang bermula dengan 1 berbanding nombor yang bermula dengan 8 atau 9? Newcomb menulis sebuah artikel pendek tentangnya. Tiada sesiapa yang mengendahkannya.

Lima puluh tujuh tahun berlalu. Pada tahun 1938, ahli fizik Frank Benford dari syarikat General Electric menyedari perkara yang sama secara berasingan. Dia tidak membiarkannya begitu sahaja. Dia mengumpul lebih daripada 20 000 nombor daripada 20 bidang yang berbeza: keluasan lembangan sungai, pemalar fizik, kadar kematian, nombor daripada artikel akhbar, statistik besbol… Nombor-nombor yang langsung tiada kaitan antara satu sama lain.

Digit pertama sesuatu nombor boleh jadi salah satu daripada sembilan digit, dari 1 hingga 9 (sifar biasanya tidak berada di hadapan). Jadi, kita menjangkakan setiap digit muncul sebagai digit pertama dengan kekerapan yang sama, iaitu kira-kira 11% kes. Tetapi bukan itu yang berlaku. Apabila Benford menjumlahkan semuanya, digit 1 berada di hadapan dalam kira-kira 30% nombor. Semakin besar digit, semakin jarang digit itu muncul di hadapan, dan hanya kurang daripada 5% nombor bermula dengan 9. Fenomena ini kini dipanggil hukum Benford, kadangkala juga hukum Newcomb–Benford.

Mengapa digit 1

Bayangkan sebuah kampung dengan 100 orang penduduk, dan bilangan penduduknya bertambah 10% setiap tahun. Selepas setiap tahun, kampung itu mempunyai kira-kira 100, 110, 121, 133, 146, 161, 177, 195, 214… orang penduduk. Untuk bertambah daripada 100 kepada 200, bilangan penduduk mesti bertambah 100%, dan hal ini mengambil masa 8 tahun. Selepas tujuh tahun, kampung itu mempunyai 195 orang penduduk, dan pada tahun kelapan sudah melebihi 200.

Daripada 200 kepada 300, pertambahan 50% sudah memadai, dan daripada 800 kepada 900 hanya 12.5%. Semakin besar digit pertama, semakin cepat kampung itu melepasinya. Sepanjang perjalanan daripada 100 kepada 1 000 orang penduduk, yang mengambil masa 25 tahun, bilangan penduduk bermula dengan 1 selama 8 tahun, dengan 2 selama 4 tahun, dengan 3 selama 3 tahun, dan dengan digit lain hanya setahun atau dua tahun. Bilangan penduduk bermula dengan 9 hanya selama setahun, iaitu ketika kampung itu mempunyai 985 orang penduduk, dan pada tahun berikutnya sudah melebihi seribu. Lapan tahun daripada 25 tahun ialah 32%, hampir dengan 30% tadi. Nombor yang bertambah dengan peratusan yang sama paling lama mempunyai digit 1 di hadapan.

Menariknya, unit tidak penting. Jika anda menukar panjang sungai daripada kilometer kepada mil, semua nombor akan berubah. Tetapi jika panjang sungai mematuhi hukum Benford, panjang dalam mil juga mematuhinya. Perkadaran nombor yang bermula dengan 1 lebih kurang tidak berubah.

Kekerapan setiap digit sebagai digit pertama

Menurut hukum Benford, kebarangkalian sesuatu nombor bermula dengan digit d ialah

$$P(d)={\log }_{10}(1+\frac{1}{d}),$$

dengan log₁₀ ialah logaritma biasa. Mari kita cuba bagi digit 1 dahulu, iaitu gantikan d = 1:

$$P(1)={\log }_{10}(1+\frac{1}{1})$$

Tambah nombor dalam kurungan:

$$P(1)={\log }_{10}2\approx 0.301$$

Jadi, kira-kira 30.1% nombor bermula dengan 1. Digit yang lain adalah seperti berikut:

Jumlahnya tepat 100%, seperti yang sepatutnya. Garis putus-putus dalam graf menandakan $\frac{1}{9}$, iaitu bahagian yang akan diperoleh setiap digit jika semua digit sama kerap.

Setelah kita mempunyai rumus, kita boleh melangkah lebih jauh. Hukum ini juga berlaku bagi dua digit pertama. Kita hanya perlu menggantikan nombor dua digit dari 10 hingga 99 bagi d dalam rumus yang sama. Jadi, nombor 10 dan 11 jauh lebih kerap berada di hadapan berbanding 98 dan 99:

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{10})\approx 0.041$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{11})\approx 0.038$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{98})\approx 0.0044$$

$${\log }_{10}(1+\frac{1}{99})\approx 0.0044$$

Sesuatu nombor bermula dengan 10 dalam kira-kira 4.1% kes dan dengan 11 dalam 3.8% kes, manakala dengan 98 atau 99 hanya dalam kira-kira 0.44% kes. Hal yang sama berlaku, misalnya, bagi panjang sungai-sungai di dunia.

Bila hukum ini berlaku dan bila tidak

Hukum Benford biasanya berlaku bagi data yang merangkumi beberapa peringkat magnitud, iaitu dari puluhan hingga jutaan, dan terhasil daripada pertumbuhan semula jadi atau pengukuran. Namun, julat yang besar sahaja tidak menjaminnya, itulah sebabnya kita mengatakan “biasanya”.

Hukum ini tidak berlaku bagi data dengan julat yang terhad. Tinggi orang dewasa berada antara 150 dengan 200 cm, jadi hampir sentiasa bermula dengan 1. Hukum ini juga tidak berlaku bagi data dengan had buatan, contohnya jumlah pengeluaran wang di mesin ATM, yang merupakan gandaan puluhan atau ratusan ringgit dan mempunyai had maksimum. Hukum ini langsung tidak terpakai bagi pengecam dan kod, seperti nombor telefon atau nombor kad pengenalan. Nombor-nombor ini bukan bilangan atau ukuran, hanya nama yang ditulis dengan digit.

Cara hukum ini menangkap penipu

Orang yang mereka-reka nombor cenderung memberikan peluang yang hampir sama kepada semua digit. Dalam invois atau akaun palsu, kita akan menemui terlalu sedikit digit 1 di hadapan dan terlalu banyak digit yang lebih besar. Oleh itu, juruaudit dan pihak berkuasa cukai menggunakan hukum ini sebagai petunjuk tentang bahagian yang perlu diperiksa. Dalam perakaunan forensik, hukum ini ialah alat yang biasa digunakan.

Walau bagaimanapun, hal ini bukan bukti penipuan. Sebuah syarikat yang menjual satu jenis barang pada harga RM79 akan mempunyai banyak invois yang bermula dengan 7 jika barang itu dibeli satu demi satu, walaupun tiada sesiapa memalsukan apa-apa. Penyimpangan hanya menunjukkan bahawa data itu wajar diperiksa dengan lebih teliti.

Satu kajian oleh Bernhard Rauch dan rakan-rakannya pada tahun 2011 membandingkan data makroekonomi yang dilaporkan oleh negara-negara Kesatuan Eropah kepada Eurostat dalam tempoh 1999–2009 (menurut peraturan tentang defisit) dengan hukum Benford. Antara negara zon euro, data Greece paling menyimpang daripada hukum itu. Greece ialah negara yang pada masa itu didapati telah memesongkan data defisitnya.

Selepas pilihan raya presiden Iran pada tahun 2009, ahli statistik menganalisis bilangan undi. Dalam pilihan raya, digit pertama tidak sesuai digunakan kerana kawasan mengundi mempunyai saiz yang hampir sama, jadi bilangan undi tidak merangkumi cukup banyak peringkat magnitud. Oleh itu, Walter Mebane menguji digit kedua keputusan setiap peti undi menggunakan hukum Benford dan menemui penyimpangan bagi tiga daripada empat calon. Bernd Beber dan Alexandra Scacco pula mengkaji digit terakhir keputusan di setiap wilayah. Digit-digit ini sepatutnya bertaburan secara seragam, setiap satu dalam kira-kira 10% kes, tetapi terdapat 17% digit 7 dan hanya 4% digit 5. Mebane sendiri menegaskan bahawa analisisnya tidak membuktikan manipulasi, hanya menyokong dakwaan itu. Dalam kedua-dua kes, hal ini bukan bukti penipuan.

Cuba sendiri dengan data anda, contohnya penyata akaun bank atau harga pada resit. Jika anda tidak mempunyai sebarang data, gunakan kuasa bagi 2. Daripada seribu kuasa bagi 2 yang pertama, iaitu 2¹ hingga 2¹⁰⁰⁰, sebanyak 301 bermula dengan 1, dan hukum Benford juga meramalkan 301. Sukar untuk mendapat padanan yang lebih baik.

Lihat juga

• Fungsi logaritma
• Asas statistik
• Paradoks hari jadi