위양성의 역설

환자가 어떤 병의 검사를 받았고 결과가 양성, 즉 환자가 그 병에 걸렸다고 나왔다. 하지만 실제로는 정말 병에 걸렸을 확률이 걸리지 않았을 확률보다 훨씬 작을 수도 있다.

이야기

어느 도시에 신종 독감이 나타났다. 수학과 대학생이 병원에 가서 이 독감에 걸렸는지 확인하는 검사를 받는다. 이 검사의 정확도는 99.95%이다. 일주일 뒤에 대학생은 검사 결과가 양성이라는 것을 알게 된다. 검사의 정확도가 99.95%이니 검사가 틀렸을 가능성은 0.05%뿐이라고 생각하며 잠시 슬퍼한다. 하지만 곧 계산을 시작하더니 환호한다. 정말 독감에 걸렸을 확률이 약 17%뿐이라는 것을 알았기 때문이다. 어떻게 그럴 수 있을까?

처음부터 차근차근 살펴보자. 간단하게 하려고 가상의 검사가 다음과 같이 작동한다고 하자. (실제로는 정확도가 100%인 검사는 거의 없지만, 편의상 그렇게 가정한다.)

• 병에 걸렸다면 검사는 100%의 경우에 병에 걸렸다고 알려 준다.
• 병에 걸리지 않았다면 검사는 99.95%의 경우에 맞는다. 즉 병에 걸리지 않았는데도 0.05%의 경우에 병에 걸렸다고 알려 준다.
• 검사에서 병에 걸리지 않았다고 나오면 분명히 병에 걸리지 않은 것이다.
• 검사에서 병에 걸렸다고 나오면 사실일 수도 있고 오류일 수도 있다.

하지만 알아야 할 것이 이것만은 아니다. 그 인구 집단에 환자가 얼마나 있는지도 알아야 한다.

환자가 많을 때

이제 검사가 여러 환경에서 어떻게 되는지 살펴보자. 먼저 예상대로 되는 경우이다. 10,000명 가운데 200명이 정말 신종 독감에 걸린 인구 집단 A를 생각하자. 즉 2%가 감염되었다. 100만 명에게 검사를 한다. 그러면 20,000명이 독감에 걸렸고 나머지는 걸리지 않았다.

검사는 병에 걸린 사람에게는 언제나 맞으므로 20,000명을 환자로 판정한다. 병에 걸리지 않은 사람은 980,000명이 남는다. 여기서 검사의 정확도는 99.95%, 즉 오류율이 0.05%이므로 환자가 아닌데도 980,000 · 0.0005 = 490명을 환자로 판정한다.

검사는 모두 20,490명을 환자로 판정한다. 하지만 그 가운데 실제 환자는 20,000명뿐이다. 따라서 양성 판정을 받은 사람이 정말 병에 걸렸을 확률은 20,000 / 20,490 = 0.9760858956, 즉 약 97.6%이다.

환자가 적을 때

10,000명 가운데 1명만 환자인, 즉 주민의 0.01%만 병에 걸린 인구 집단 B를 보자. 같은 검사를 100만 명에게 한다.

100만 명 가운데 환자는 100명뿐이고, 검사는 이 사람들을 올바르게 환자로 판정한다. 건강한 사람은 999,900명이 남는다. 검사는 오류 때문에 이 사람들 가운데 0.05%를 환자로 판정한다. 즉 건강한 사람 $\mathrm{999,900}\cdot 0.0005\fallingdotseq 500$명을 환자로 판정한다. 나머지는 올바르게 건강하다고 판정한다.

검사는 모두 100 + 500 = 600명을 환자로 판정한다. 그런데 그 가운데 실제 환자는 100명뿐이므로, 정말 병에 걸렸을 확률은 100/600 = 1/6, 즉 약 17%뿐이다. 검사에서 환자로 판정되었어도 병에 걸리지 않았을 가능성이 여전히 훨씬 크다.

환자가 한 명일 때

검사에서 환자로 판정되어도 실제로 병에 걸렸을 가능성은 약 17%뿐이라는 앞의 결과는 놀라울 수 있다. 예를 극단까지 밀고 나가면 더 잘 보인다.

100만 명의 인구 집단 가운데 환자가 단 한 명이라고 하자. 검사의 정확도는 건강한 사람에 대해 90%이다. 무슨 뜻일까? 검사는 건강한 사람 999,999명 가운데 10%, 즉 약 10만 명을 환자로 판정한다. 그런데 실제 환자는 한 명뿐이다. 검사에서 환자로 판정되어도 정말 병에 걸렸을 가능성은 1/100000, 즉 약 0.001%뿐이다.