Nghịch lí dương tính giả

Một bệnh nhân làm xét nghiệm một bệnh nào đó và xét nghiệm cho kết quả dương tính, tức là cho biết bệnh nhân mắc bệnh. Nhưng trên thực tế, xác suất để người đó thật sự mắc bệnh có thể nhỏ hơn nhiều so với xác suất không mắc bệnh.

Câu chuyện

Ở Hà Nội xuất hiện dịch cúm lợn. Một sinh viên khoa Toán đi khám, và bác sĩ cho làm xét nghiệm xem anh có mắc cúm này hay không. Xét nghiệm có độ chính xác 99,95%. Một tuần sau, sinh viên được biết kết quả dương tính. Anh buồn một lúc, vì xét nghiệm có độ chính xác 99,95%, nên khả năng xét nghiệm sai chỉ là 0,05%. Nhưng rồi anh bắt đầu tính toán và reo lên. Anh phát hiện ra rằng xác suất anh thật sự mắc cúm lợn chỉ vào khoảng 17%. Sao lại như vậy được?

Ta hãy xem xét toàn bộ. Để đơn giản, hãy hình dung xét nghiệm tưởng tượng của ta hoạt động như sau. (Trong thực tế khó có xét nghiệm nào chính xác 100%, nhưng để đơn giản ta giả sử như vậy.)

• Nếu bạn mắc bệnh, xét nghiệm trong 100% trường hợp cho biết bạn mắc bệnh.
• Nếu bạn không mắc bệnh, xét nghiệm đúng trong 99,95% trường hợp. Tức là dù bạn không mắc bệnh, trong 0,05% trường hợp xét nghiệm vẫn cho biết bạn mắc bệnh.
• Nếu xét nghiệm báo bạn không mắc bệnh thì chắc chắn bạn không mắc bệnh.
• Nếu xét nghiệm báo bạn mắc bệnh thì điều đó có thể đúng, cũng có thể sai.

Nhưng như vậy chưa đủ. Ta còn cần biết trong cộng đồng đang xét có bao nhiêu người mắc bệnh.

Nhiều người mắc bệnh

Bây giờ ta xem kết quả xét nghiệm trong những cộng đồng khác nhau ra sao. Trong trường hợp này kết quả đúng như mong đợi. Hãy hình dung cộng đồng A, nơi 200 trên 10.000 người thật sự mắc cúm lợn, tức là 2% dân số bị nhiễm. Ta xét nghiệm 1 triệu người. Như vậy 20.000 người mắc cúm, những người còn lại không mắc.

Vì xét nghiệm luôn đúng khi người đó mắc bệnh, nên xét nghiệm xác định 20.000 người là mắc bệnh. Còn lại 980.000 người không mắc bệnh. Với họ xét nghiệm đúng trong 99,95% trường hợp, tức là sai trong 0,05% trường hợp, nên xét nghiệm xác định 980.000 · 0,0005 = 490 người là mắc bệnh, dù họ không mắc.

Tổng cộng xét nghiệm xác định 20.490 người là mắc bệnh. Nhưng trong số đó chỉ có 20.000 người thật sự mắc bệnh. Vậy xác suất để bạn thật sự mắc bệnh là 20.000 / 20.490 = 0,9760858956, khoảng 97,6%.

Ít người mắc bệnh

Xét cộng đồng B, nơi chỉ 1 trên 10.000 người mắc bệnh, tức là 0,01% dân số mắc bệnh. Ta làm cùng xét nghiệm đó với 1 triệu người.

Trong 1 triệu người chỉ có 100 người mắc bệnh, và xét nghiệm xác định đúng những người này là mắc bệnh. Còn lại 999.900 người khoẻ mạnh. Do sai số, xét nghiệm xác định 0,05% trong số họ là mắc bệnh. Như vậy xét nghiệm xác định 999.900 · 0,0005 ≈ 500 người khoẻ mạnh là mắc bệnh. Những người còn lại được xác định đúng là khoẻ mạnh.

Tổng cộng xét nghiệm xác định 100 + 500 = 600 người là mắc bệnh. Nhưng trong số đó chỉ có 100 người thật sự mắc bệnh, nên xác suất để bạn thật sự mắc bệnh chỉ là 100/600 = 1/6, khoảng 17%. Dù xét nghiệm xác định bạn mắc bệnh, khả năng bạn không mắc bệnh vẫn cao hơn nhiều.

Một người mắc bệnh

Kết quả trên, rằng khi xét nghiệm xác định bạn mắc bệnh thì thực ra bạn chỉ có khoảng 17% khả năng thật sự mắc bệnh, có thể khiến nhiều người ngạc nhiên. Nhưng điều này còn thấy rõ hơn nếu đẩy ví dụ đến cực đoan.

Giả sử có một cộng đồng 1 triệu người, trong đó chỉ đúng 1 người mắc bệnh. Xét nghiệm được dùng có độ chính xác 90% ở người khoẻ mạnh. Điều đó có nghĩa là gì? Trong 999.999 người khoẻ mạnh, xét nghiệm xác định 10% là mắc bệnh, tức là xác định khoảng 100.000 người là mắc bệnh. Trong khi đó chỉ có 1 người thật sự mắc bệnh. Dù xét nghiệm xác định bạn mắc bệnh, khả năng bạn thật sự mắc bệnh chỉ là 1/100000, tức là khoảng 0,001%.