Delen
Delen is het omgekeerde van vermenigvuldigen. Tegelijk is delen een goede bron van humor, want, zoals iedereen weet, we kunnen niet door nul delen, anders zou je schrift in brand vliegen.
Wat is delen
Delen kunnen we ons voorstellen als het verdelen van een groot geheel in even grote kleinere stukjes. Stel dat een vader een plank van 100 cm lengte in vijf even grote stukken moet zagen. Hoe groot worden de afzonderlijke stukken?
We kunnen het ook omgekeerd aanpakken — als we de lengtes van alle vijf afgezaagde stukken optellen, moet er weer het getal 100 uitkomen. Welk getal voldoet daaraan? Dat is het getal 20, want 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. In plaats van optellen kunnen we ook vermenigvuldigen gebruiken. We kunnen vragen: welk getal geeft vermenigvuldigd met vijf honderd? Weer het getal 20, want 5 · 20 = 100.
Grafisch kunnen we het weergeven als het verdelen van een lijnstuk van lengte 100 in vijf even lange delen:
Als we het getal 100 door het getal 5 willen delen, zoeken we uit “hoe vaak het getal vijf in het getal honderd past”. Delen schrijven we met een schuine streep: 100 / 5 of met een dubbele punt: 100 : 5. De uitkomst van het delen van twee getallen is het quotiënt. In onze voorbeelden is het getal 20 het quotiënt van de getallen 100 en 5. Het getal links heet het deeltal, het getal rechts de deler. Delen kunnen we ook schrijven met een breuk: in plaats van 100 / 5 kunnen we
- a heet het deeltal,
- b heet de deler,
- c heet het quotiënt.
Definitie met vermenigvuldigen
Het quotiënt kunnen we het eenvoudigst definiëren met vermenigvuldigen. Als voorbeeld nemen we het quotiënt van deze getallen: 35 / 7. Wat is de uitkomst? We zoeken het getal dat, vermenigvuldigd met 7, het getal 35 geeft. Als we 48 / 8 zouden delen, zouden we het getal zoeken dat vermenigvuldigd met 8 het getal 48 geeft.
De uitkomst van 35 / 7 is dus het getal 5, want 7 · 5 = 35. De uitkomst van 48 / 8 is het getal 6, want 8 · 6 = 48.
Als we in het algemeen a / b delen, is de uitkomst het getal c waarvoor geldt b · c = a.
Hoewel we alle voorbeelden met natuurlijke getallen hebben laten zien, kunnen we dankzij de definitie met vermenigvuldigen ook alle andere getallen delen. We kunnen bijvoorbeeld het quotiënt −85,76 / 6,7 vinden door het getal x te zoeken waarvoor geldt 6,7 · x = −85,76. Dat geldt voor x = −12,8.
Nul kunnen we wel door een ander getal delen
Nul kunnen we door een getal delen, dit is een geldige uitdrukking: 0 / 15. Daarmee zeggen we eigenlijk dat we nul in 15 gelijke delen willen verdelen. Je kunt je voorstellen dat we helemaal geen taart hebben en die taart die we niet hebben in 15 stukken willen verdelen — hoe groot worden de afzonderlijke stukken? Ze worden nul, want we hebben gewoon geen taart. Of stel je voor dat je nul euro in je portemonnee hebt en deze nul euro onder drie kinderen wilt verdelen. Hoeveel krijgt elk kind? Niks, want je hebt gewoon niets. Daarom 0 / 15 = 0.
Nul door een ander getal delen mag, maar een ander getal door nul delen mag niet. Deze uitdrukking is ongeldig: 8 / 0.
Maar waarom kunnen we niet door nul delen?
Door nul delen mag niet, omdat het elfde gebod het verbiedt.
Maar er zijn ook sterkere redenen. Voorlopig kijken we naar het geval dat het deeltal ongelijk is aan nul — het delen heeft de vorm a / 0, waarbij a ≠ 0. We noemen twee redenen:
- Laten we bij de analogie van een geheel verdelen in kleinere, even grote delen blijven. We hebben 15 Pokémon, en wel de allersterkste. Nu willen we ze verdelen onder nul kinderen. Hoeveel Pokémon krijgt elk kind?
Eh???
Ja, je leest de opgave goed en ja, ze slaat nergens op. We kunnen niet vragen hoeveel Pokémon elk kind heeft gekregen als we geen kind hadden aan wie we die Pokémon konden geven. Daarom slaat ook delen door nul nergens op en daarom zeggen we dat de uitdrukking x / 0 ongedefinieerd is.
- We hebben delen ingevoerd met behulp van vermenigvuldigen. Als we proberen door nul te delen, 15 / 0, zoeken we een getal x waarvoor geldt x · 0 = 15. Maar alles maal nul is nul, we zullen nooit een x vinden waarvoor deze vergelijking klopt.
En hoe zit het met het quotiënt 0/0?
Dat is net zo ongedefinieerd als x / 0. De redenen:
Dit keer hebben we nul allersterkste Pokémon die we onder nul kinderen willen verdelen. Dat is weer een onzinnige eis.
Volgens de definitie van delen zoeken we bij het delen van 0 / 0 een getal x waarvoor geldt x · 0 = 0. We zouden een oplossing vinden, of preciezer: elk reëel getal is een oplossing van deze vergelijking. Of we nu voor x 4, 1 of π invullen, de vergelijking klopt. Het is natuurlijk niet toelaatbaar dat de uitkomst van een deling een hele verzameling reële getallen is, dat slaat nergens op.
We zouden uit de hele verzameling één bepaald getal moeten kiezen en zeggen dat precies dit getal de uitkomst van 0 / 0 is. Maar welk? Zou het één moeten zijn? Acht? Nul? Min één? En waarom? Laten we proberen argumenten voor nul en voor één te geven:
- We weten dat als we een breuk van de vorm x / x hebben, die breuk gelijk is aan één. Bijvoorbeeld 7 / 7 = 1 of 3 / 3 = 1. Hieruit zouden we kunnen afleiden dat we 0 / 0 zo zouden moeten definiëren dat geldt 0 / 0 = 1.
- Kijk eens naar deze rij zeker geldige breuken. In elk ervan delen we nul door een getal dat steeds dichter bij nul komt:
We zien dat, hoe dicht bij nul het getal ook is waardoor we delen, de uitkomst steeds nul is. Hieruit zouden we kunnen afleiden dat 0 / 0 = 0.
Dit zijn beide geldige argumenten voor hoe we het quotiënt 0 / 0 zouden kunnen definiëren. Maar welke van de twee is beter? Zelfs als we er één kozen en tot enige geldige verklaarden, zouden we uiteindelijk toch in tegenspraak komen met andere delen van de wiskunde.
Daarom laten we delen door nul liever ongedefinieerd.
Het laatste argument tegen delen door nul
Als de voorgaande argumenten je nog niet overtuigen, dan hopelijk de volgende fotodocumentatie van een geval waarin iemand echt probeerde door nul te delen:
