Optellen en aftrekken
Optellen en aftrekken zijn de eenvoudigste bewerkingen in de wiskunde, en je hebt ze ook in het dagelijks leven steeds nodig. Je kunt allerlei structuren optellen, maar hier houden we het bij het optellen van gehele getallen.
Optellen
De bewerking optellen schrijven we met het plusteken +. Bij het optellen tellen we termen bij elkaar op. Als we 2 + 3 willen uitrekenen, noemen we dus zowel de twee als de drie een term. Het resultaat heet de som, dus de vijf in 2 + 3 = 5 is de som.
Je kunt bijna alle getallen optellen, of het nu natuurlijke getallen zijn zoals 1, 5, 157 of negatieve getallen zoals -4, -74. Verder kunnen we rationale getallen optellen, oftewel breuken, en reële getallen zoals π, en uiteindelijk ook complexe getallen. We kunnen zelfs andere structuren optellen — matrices of vectoren.
Optellen wordt meestal uitgelegd met een hoop appels: als je drie appels in je mandje hebt en iemand geeft je er nog vier, hoeveel appels heb je dan? Je hebt er 3 + 4 = 7.
Grote getallen optellen
Als ik je zou vragen 17 564 en 3272 op te tellen, zou je het antwoord waarschijnlijk niet zomaar uit je hoofd weten. Daarom gebruik je een rekenmachine of potlood en papier. Hoe je het in een rekenmachine intikt, ga ik je niet uitleggen. We richten ons op de methode op papier.
De getallen die we willen optellen, schrijven we onder elkaar en we lijnen ze rechts uit — zo dat gelijke plaatsen (tientallen, honderdtallen, …) onder elkaar staan. Onder beide getallen trekken we een horizontale streep. Het ziet er dan zo uit:
Nu gaan we de getallen optellen die onder elkaar staan. Als de som van twee cijfers kleiner is dan tien, schrijven we die som gewoon onder de streep. We beginnen aan de rechterkant, bij de kleinste plaats. Eerst tellen we dus 4 + 2 op, en dat is zes. Zes is kleiner dan tien, dus we schrijven het cijfer zes onder de streep:
We gaan verder met 6 + 7. Dat is 13, en dat is al groter dan tien. Nu schrijven we onder de streep alleen het cijfer op de plaats van de eenheden, dus we schrijven een drie (we trekken van de dertien een tien af).
Wat is er gebeurd met die één die we hebben afgesneden? En wat stelt die voor? Op dit moment rekenen we met de tweede kolom van rechts, en die stelt de tientallen voor. We hebben dus eigenlijk tientallen opgeteld, namelijk 60 + 70 = 130. We hebben besloten het getal 30 te bewaren en de 100 hebben we voor later opzijgezet. Voor wanneer? Voor de volgende stap, de volgende kolom. In de volgende stap komen we bij de cijfers die bij de honderdtallen horen. En wij hebben een honderdtal extra, dat we bij het optellen van de tientallen hebben gekregen. Het eenvoudigste is dus om dat honderdtal in de volgende stap erbij te tellen.
In plaats van 5 + 2 tellen we in de volgende stap dus 5 + 2 + 1 op, waarbij die één het honderdtal voorstelt dat we in de vorige stap hebben gekregen. De uitkomst is acht, en dat is kleiner dan tien. We schrijven dus een acht onder de streep.
Naar de volgende stap gaat geen extra duizendtal mee, dus we tellen alleen 7 + 3 = 10 op. Dit getal is niet kleiner dan tien, dus onder de streep schrijven we het laatste cijfer en de één gaat verder. Onder de streep schrijven we dus een nul en voor de volgende stap onthouden we één tienduizendtal extra.
In de laatste kolom staat alleen in de bovenste rij nog een cijfer. In de tweede rij denken we er een nul bij en we tellen 1 + 0 op, en we mogen niet vergeten de één uit de vorige stap erbij te tellen: 1 + 0 + 1 = 2. Onder de streep schrijven we een twee.
Hiermee is de methode klaar en hebben we de som van de getallen 17 564 + 3272.
Animatie van het cijferend optellen
In de volgende vakjes kun je twee natuurlijke getallen invullen en daarna kijk je gewoon naar de animatie van de hele werkwijze.
Optellen op de getallenlijn
Optellen kunnen we grafisch weergeven op de getallenlijn. De getallenlijn is een lijn waarop alle getallen staan. Zo kan hij eruitzien:
Als we op deze getallenlijn het optellen van twee getallen willen laten zien, bijvoorbeeld 3+4, gaan we als volgt te werk: we tekenen een lijnstuk dat begint in de oorsprong, dus in de nul, en eindigt bij de drie. Bij het optellen laten we het lijnstuk naar rechts wijzen vanaf het punt waar we begonnen zijn. Zo dus:
Nu zetten we op de getallenlijn de vier uit. Maar nu beginnen we bij het getal drie en vanaf daar trekken we een lijnstuk met lengte vier naar rechts. Zo:
Het punt waar het tweede, groene lijnstuk eindigt, is de uitkomst: 3 + 4 = 7.
Aftrekken
Aftrekken is de omgekeerde bewerking van optellen. Als je bij een getal a het getal b optelt en daarna het getal b weer aftrekt, krijg je a terug. We laten de werkwijze zien aan het voorbeeld 158 748 − 99 575. Net als bij het optellen schrijven we deze getallen onder elkaar:
Onder de streep schrijven we de uitkomst, net als bij het optellen. We werken van rechts naar links, van de kleinste plaatsen af. Eerst rekenen we dus met de eenheden. Als het bovenste getal niet kleiner is dan het onderste, schrijven we onder de streep het verschil bovenste getal − onderste getal. (Of andersom — als het onderste getal kleiner is of gelijk, dan kunnen we zonder zorgen aftrekken.) Op de plaats van de eenheden is het bovenste getal niet kleiner, dus we schrijven het verschil 8 − 5 = 3.
We schuiven één cijfer naar links en zijn bij de tientallen. Hier is het bovenste getal wel kleiner dan het onderste. Nu tellen we bij het bovenste getal een tien op en rekenen verder op dezelfde manier: bovenste getal + 10 − onderste getal. De uitkomst is 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
Bij het aftrekken van de tientallen hebben we ons geholpen door er tien tientallen bij te rekenen, en daar moeten we in de volgende stap aan denken. Tien tientallen is één honderdtal, dus in de volgende stap trekken we één honderdtal méér af. Dat betekent dat we bij de vijf onderaan de één uit de vorige stap optellen.
Bij de honderdtallen kijken we dus of de zeven (bovenste getal) kleiner is dan de zes (onderste getal + 1). Dat is niet zo, dus we kunnen het gewone verschil nemen: bovenste min onderste. Maar ook nu moeten we bij het onderste getal de één optellen, dus in de uitkomst hebben we 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
Naar de volgende stap hoeven we niets mee te nemen, want in deze stap hoefden we geen hogere plaatsen te lenen. Bij de duizendtallen tellen we dus nergens iets bij op. Maar de acht in het bovenste getal is wel kleiner dan de negen in het onderste getal, dus we moeten bij het bovenste getal een tien optellen. We krijgen dan het verschil 8 + 10 − 9 = 9.
Naar de volgende stap nemen we een één mee en we tellen die bij het onderste getal op. Negen plus één is tien, en de bovenste vijf is kleiner dan tien. Bij het bovenste getal tellen we tien op en we nemen het verschil: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Weer hebben we ons met een hogere plaats geholpen, dus we nemen een één mee naar de volgende stap. Daar ontbreekt in de onderste rij een cijfer, dus we nemen een nul aan. Als we de één erbij tellen, krijgen we de uitkomst één. Het bovenste getal is niet kleiner dan het onderste (het bovenste is nu gelijk aan het onderste), dus we kunnen gewoon aftrekken: 1 − 1 = 0.
En we hebben de uitkomst. De nul vooraan kunnen we weglaten en we schrijven: 158 748 − 99 575 = 59 173.
Aftrekken op de getallenlijn
Aftrekken kunnen we net als optellen op de getallenlijn weergeven. Alleen veranderen we bij het uitzetten van het lijnstuk de richting. We zetten het lijnstuk niet naar rechts van het huidige punt uit, maar naar links. Als we 2 − 5 moeten uitrekenen, gaan we dus als volgt te werk. Eerst zetten we op de getallenlijn de twee uit, in positieve richting, want twee is positief. We trekken vijf af, dus die gaat de andere kant op.
Nu zetten we op de lijn het tweede lijnstuk uit, dat min vijf voorstelt. We beginnen in het punt waar we geëindigd zijn, dus bij de twee. Maar het lijnstuk tekenen we terug, naar links.
