Vereniging, doorsnede, verschil en complement van verzamelingen

Met verzamelingen kunnen we verschillende bewerkingen uitvoeren. De belangrijkste zijn de vereniging, de doorsnede, het verschil en het complement.

Vereniging van verzamelingen

De vereniging van verzamelingen noteren we met het symbool ∪, dus de vereniging van de verzamelingen A en B schrijven we als A ∪ B. Als we de verzamelingen A en B verenigen, ontstaat een nieuwe verzameling die alle elementen van verzameling A en ook alle elementen van verzameling B bevat. De definitie:

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

Een voorbeeld: neem twee verzamelingen A = {1, 3, 5, 7} en B = {2, 4, 6}. De vereniging is de verzameling A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. De nieuwe verzameling bevat de elementen van beide verzamelingen.

Nog een voorbeeld: A = {1, 2, 3} en B = {2, 3, 4}. De vereniging is A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. De elementen 2 en 3 staan niet twee keer in de nieuwe verzameling, want een verzameling bevat geen element meer dan één keer.

Verdere eigenschappen:

• A ∪ A = A: als we twee gelijke verzamelingen verenigen, krijgen we weer dezelfde verzameling.
• A ∪ B = B ∪ A: de vereniging is commutatief, de volgorde maakt niet uit.
• A ∪ ∅ = A: de lege verzameling bevat geen enkel element, dus er valt niets te verenigen.

Doorsnede van verzamelingen

De doorsnede van twee verzamelingen A en B is een nieuwe verzameling die de elementen bevat die beide verzamelingen gemeen hebben. Preciezer gezegd bevat de nieuwe verzameling de elementen die zowel in A als in B zitten. De doorsnede noteren we met het symbool ∩. De definitie:

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

Een voorbeeld: A = {1, 3, 5, 7, 9} en B = {4, 5, 6, 7}. De doorsnede is A ∩ B = {5, 7}. Nog een voorbeeld: A = {a, b, c, d, e} en B = {f, g, h, i, j}. De doorsnede is A ∩ B = ∅. Deze verzamelingen hebben geen enkel element gemeen, dus de doorsnede is de lege verzameling.

Verdere eigenschappen:

• A ∩ A = A: de doorsnede van twee gelijke verzamelingen is weer dezelfde verzameling.
• A ∩ B = B ∩ A: de doorsnede is commutatief, de volgorde maakt niet uit.
• A ∩ ∅ = ∅: de lege verzameling bevat geen enkel element, dus ze heeft zeker geen element gemeen met verzameling A.

Verschil van verzamelingen

Het verschil van verzamelingen noteren we met het gewone minteken − of, beter, met het schuine minteken ∖. Het verschil van twee verzamelingen A en B is de verzameling die alle elementen van A bevat en geen enkel element van B. Je kijkt dus welke elementen de eerste verzameling gemeen heeft met de tweede, en die haal je weg. De definitie:

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

Een voorbeeld: A = {1, 2, 3, 4, 5} en B = {4, 5, 6, 7, 8}. Het verschil is dan A ∖ B = {1, 2, 3}. Dat zijn de elementen die overblijven als we uit verzameling A alle elementen weghalen die in verzameling B zitten. Nog een voorbeeld: A = {a, b, d, e}. Het verschil A ∖ A = ∅.

Verdere eigenschappen:

• A ∖ A = ∅: net zoals we nul krijgen als we twee gelijke getallen van elkaar aftrekken (bijvoorbeeld 5 − 5 = 0), krijgen we de lege verzameling als we twee gelijke verzamelingen van elkaar aftrekken.
• A ∖ ∅ = A: de lege verzameling bevat geen enkel element, dus we kunnen geen element uit verzameling A weghalen.

Complement van een verzameling

Het complement van een verzameling A wordt op allerlei manieren genoteerd, bijvoorbeeld als A^c of met een streep erboven: $\bar{A}$. Voor het gemak gebruik ik A^c. Om het complement van een verzameling A te bepalen, moeten we weten in welke verzameling we dat complement nemen. Het complement bestaat namelijk uit alle elementen die niet in verzameling A zitten, het is dus een soort tegenhanger van verzameling A.

Als de hoofdverzameling M = {1, 2, 3, …, 9, 10} is, dan is het complement van de verzameling A = {2, 4, 6, 8, 10} in M de verzameling A^c = {1, 3, 5, 7, 9}. Die bevat alle elementen van M die niet in A zitten. We kunnen zeggen dat A^c in M gelijk is aan M ∖ A.

Als we de gehele getallen als hoofdverzameling nemen, dan is het complement van de verzameling van de even getallen de verzameling van de oneven getallen. Het complement van de verzameling A = {1, 2, 3, 4} is de verzameling A^c = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

Voor het complement geldt dat we de oorspronkelijke verzameling terugkrijgen als we het twee keer nemen. Neem bijvoorbeeld de gehele getallen: het complement van de even getallen zijn de oneven getallen, en het complement van de oneven getallen zijn weer de even getallen. Er geldt dus A = (A^c)^c (het complement van het complement van A).