Afgeleide van een functie

De afgeleide is een basisbegrip in de differentiaalrekening, speelt een belangrijke rol bijvoorbeeld bij het onderzoeken van het verloop van een functie en wordt aan de ene kant door leerlingen gehaat, terwijl aan de andere kant zelfs een getrainde aap een afgeleide kan berekenen. In dit artikel worden alleen de definitie van de afgeleide en verwante begrippen beschreven en uitgelegd. Uitgewerkte voorbeelden vind je in de verwante artikelen: eenvoudige voorbeelden over afgeleiden en moeilijkere voorbeelden. Het omgekeerde proces van differentiëren is integreren.

Wat is een afgeleide

Voordat we bij de definitie van de afgeleide komen, bespreken we wat we met een afgeleide eigenlijk uitrekenen en waar dat vervolgens goed voor kan zijn.

Met de afgeleide van een functie krijgen we de richtingscoëfficiënt van de raaklijn. Dat is waarschijnlijk een hoop schuttingtaal bij elkaar, dus we beginnen bij het begin. Eenvoudig gezegd is een raaklijn een lijn die een gegeven grafiek in precies één punt raakt. Dat is geen exacte definitie, die kun je bijvoorbeeld lezen op Wikipedia, maar het volstaat ongeveer. Bekijk nu het volgende plaatje:

De zwarte kromme is de grafiek van de functie y = x². De blauwe lijn is de raaklijn aan deze functie in het punt D(1, 1), rood aangegeven. Groen is de hoek α aangegeven die de raaklijn maakt met de x-as — preciezer: met de positieve x-as. Nu definiëren we het begrip richtingscoëfficiënt van de raaklijn. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is in dit plaatje de tangens van de hoek alfa. De tangens is een klassieke goniometrische functie, waarmee we bijvoorbeeld hoeken en zijden in een driehoek kunnen berekenen. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn is dus de tangens van de hoek die de gegeven raaklijn maakt met de positieve x-as. En die richtingscoëfficiënt krijgen we juist met behulp van afgeleiden.

Verder onderscheiden we de begrippen afgeleide van een functie in een punt en afgeleide van een functie. De afgeleide van een functie in een punt is precies de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het gegeven punt. De afgeleide van een functie is dan een andere functie, die de richtingscoëfficiënten voorschrijft voor een willekeurig argument x. Een voorbeeld volgt.

Motivatie

Met de afgeleide kunnen we dus richtingscoëfficiënten van raaklijnen berekenen. Waar kan dat goed voor zijn? Bekijk het volgende plaatje:

In het plaatje zie je opnieuw de functie y = x² en vier getekende raaklijnen. Twee groene en twee blauwe. Let op: de functie y = x² is op het interval ⟨ ← , 0⟩ strikt dalend, terwijl ze op het interval ⟨0, → ⟩ strikt stijgend is. Maar wat geldt tegelijk voor hun raaklijnen, of beter gezegd voor de hoek die ze maken met de positieve as? De blauwe raaklijnen, dat zijn de raaklijnen die door punten gaan die bij het interval horen waarop de functie stijgt, maken met de as een hoek kleiner dan 90 graden. De groene raaklijnen maken met de as een hoek die groter is dan 90 graden. Hoe komt dat tot uiting in de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen?

Daarvoor moeten we het gedrag van de tangensfunctie kennen. Uit de volgende grafiek leren we dat als de hoek kleiner is dan 90 graden, de waarde van de tangens positief is (het blauw gemarkeerde deel); als de hoek daarentegen groter is dan 90 graden, maar kleiner dan 180 graden (dus kleiner dan π radialen), dan is de waarde van de tangens negatief. Welke conclusie kunnen we daaruit trekken? Als de richtingscoëfficiënt (vergeet niet dat de richtingscoëfficiënt juist de tangens van de hoek is) van de raaklijn in een gegeven punt positief is, dan is de functie in dat punt stijgend, als ze negatief is, dan is de functie dalend.

Definitie

Voordat we bij de definitie van de afgeleide zelf komen, moeten we een lange weg afleggen. En daarvoor hebben we de limiet van een functie nodig. Als je limieten niet beheerst, ga dan terug naar die stof of spring alleen naar de formules, het verdere verhaal is waarschijnlijk niets voor jou.

Voordat we naar de richtingscoëfficiënt van de raaklijn zelf gaan, staan we stil bij de richtingscoëfficiënt van een snijlijn, dat is eenvoudiger. Een snijlijn is een lijn die de grafiek in twee punten snijdt. Nu proberen we af te leiden hoe we deze richtingscoëfficiënt zouden berekenen. Kijk naar het plaatje:

Daar staat de grafiek van de functie x² + 1 en de snijlijn s, die de grafiek in twee punten snijdt, (0,5; 1,25) en (2, 5). Deze punten zijn blauw gemarkeerd. Omdat de concrete waarden ons niet zo interesseren, zijn deze waarden in de grafiek in het algemeen aangegeven als a en b en f(a) en f(b). Daarbij is f(a) de waarde van de functie f in het punt x = a. Dat klopt: de waarde van onze functie x² + 1 in het punt x = 2 is 2² + 1 = 5.

Nu gaat het erom af te leiden hoe we de hoek met de naam alfa berekenen, dus de hoek die de snijlijn maakt met de x-as. We passen het plaatje eerst een beetje aan, zodat we er een driehoek in krijgen, daarmee werkt het gemakkelijker.

Wat hebben we gedaan? We hebben de punten waarin de snijlijn de grafiek van de functie y = x² + 1 sneed met een lijnstuk verbonden en ze aangevuld tot een rechthoekige driehoek ABC. Wat levert dat op? De hoek met de naam β is namelijk even groot als de hoek α (het zijn F-hoeken). Daarbij kennen we de lengtes van de zijden AB en BC. Er geldt |AB| = b − a (het is gewoon de afstand van het punt b tot a). Op dezelfde manier geldt voor de lengte |BC| = f(b) − f(a). Hoe berekenen we nu de grootte van de hoek β, of beter gezegd α?

We moeten weten hoe de tangens wordt berekend. De tangens is de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de aanliggende rechthoekszijde, dus de tangens van de hoek alfa (bèta) is gelijk aan de verhouding van de lengte van de zijde BC tot de lengte van de zijde AB. We schrijven het op:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Omdat de richtingscoëfficiënt de tangens van een hoek is, hebben we met deze formule de richtingscoëfficiënt van de snijlijn berekend. Maar hoe helpt ons dat als we de richtingscoëfficiënt van de raaklijn willen berekenen? Stel je voor dat we de punten A en C zo lang naar elkaar toe bewegen tot ze samenvallen. Het plaatje laat die nadering zien:

Hoe dichter we het bovenste snijpunt bij het onderste snijpunt brengen, hoe meer de snijlijn op een raaklijn gaat lijken. De oorspronkelijke snijlijn/lijn CA was nog ver van een raaklijn. Als we het punt C bij het punt A brengen, krijgen we bijvoorbeeld de snijlijn C₁A, die al meer op een raaklijn lijkt. De snijlijn C₂A lijkt er nog meer op, enzovoort.

Wanneer wordt een snijlijn een raaklijn? Op het moment dat beide snijpunten samenvallen tot één, dus als voor een punt C_n zou gelden dat C_n = A. Op dat moment hebben we van de snijlijn een raaklijn gemaakt, wat we wilden. De vraag is hoe we de richtingscoëfficiënt dan berekenen, want we kunnen deze twee punten niet zomaar van elkaar aftrekken, omdat ze gelijk zijn:

$$\text{tan}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Dit gaat niet goed, zo kunnen we het niet berekenen. Niet voor niets hebben we de gegeven punten alleen maar naar elkaar toe bewogen. We hebben namelijk een limiet nodig. We willen nu de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het gegeven punt (a, f(a)) berekenen en we hebben de richtingscoëfficiënten van alle mogelijke snijlijnen tot onze beschikking (die kunnen we al berekenen). We berekenen dus achtereenvolgens de richtingscoëfficiënten van snijlijnen, die we zo naderen dat er een raaklijn ontstaat. We laten dus b naar a naderen. We kunnen de punten niet zo dicht bij elkaar brengen dat ze gelijk zijn, maar we kunnen ze zo naderen dat hun verschil in de limiet naar nul gaat. Kijk eens aan, een limiet. We laten dus b naar a gaan, tot ze in de limiet gelijk zijn. We berekenen dus de limiet voor b naar a. Dat is alles, de formule ziet er zo uit:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Deze limiet noemen we de afgeleide van de functie f(x) in het punt x = a. Ik herinner je eraan dat de hoek α gelijk is aan de hoek β. Meestal gebruiken we de variabelen a en b niet, maar zoeken we de afgeleide in het punt x₀ en naderen we met het punt x. We kunnen dan schrijven:

$$\text{tan}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Tot nu toe hebben we, net als bij de continuïteit van een functie, de afgeleide in één punt gedefinieerd. Als we een functie f(x) hebben die differentieerbaar is op een open interval I, dan definiëren de waarden van deze afgeleide een functie f′(x), die we de afgeleide van de functie noemen.

De afgeleide schrijven we op met een accent rechtsboven, ongeveer zo:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Je kunt ook een andere notatievorm tegenkomen, met dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

In de formule die we zojuist gebruikten, kunnen we de tangens dus vervangen door de notatie van de afgeleide:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Met eenzijdige limieten kunnen we ook de eenzijdige afgeleide van rechts of van links definiëren. Daar houden we ons nu niet mee bezig, het is niet zo belangrijk.

Een iets andere definitie

Een andere definitie van de afgeleide van een functie in een punt ziet er zo uit:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Hoe komen we aan zo'n definitie? We hoeven het plaatje waarvan we uitgingen maar een beetje aan te passen. We kunnen namelijk de afstand van het punt a tot het punt b uitdrukken als h = b − a. Daardoor kunnen we het punt b opschrijven als a + h, want h is precies de afstand van b tot a. Het plaatje ziet er dan zo uit:

Onderaan hebben we de punten a en a + h, op de y-as dan f(a) en f(a + h). Nu maken we opnieuw een driehoek en berekenen we de tangens van de hoek bèta. Alleen met dat verschil dat de lengte van de zijde AB al berekend is, dat is namelijk precies h.

Eindige en oneindige afgeleide

Ook afgeleiden zijn eindig en oneindig, net als limieten van functies. Wat betekent dat? De afgeleide is eindig als de waarde van de afgeleide in het punt gelijk is aan een reëel getal. De afgeleide is oneindig als ze gelijk is aan plus of min oneindig. Hoe stel je dat meetkundig voor? Wanneer is de richtingscoëfficiënt “oneindig”? We beginnen met een gemakkelijker vraag — hoe ziet een raaklijn eruit waarvan de richtingscoëfficiënt gelijk is aan een groot getal? Uit de grafiek van de tangens (zie hierboven) is te zien dat als de waarde van de tangens groot is, de hoek dicht bij 90 graden ligt (als we ons in het interval ⟨0, 180⟩ bewegen).

Je zou hieruit kunnen afleiden dat als de functie in een gegeven punt een oneindige afgeleide heeft, de raaklijn een rechte hoek met de x-as maakt, dat ze er loodrecht op staat. En inderdaad. Hoe zou de grafiek van zo'n functie eruit kunnen zien en in welk punt zou de raaklijn loodrecht op de x-as staan? Bijvoorbeeld de functie $y=\sqrt[3]{x}$:

Basiseigenschappen

• Om in een punt een afgeleide te hebben, moet de functie gedefinieerd zijn in een epsilon-omgeving van dit punt. Als die omgeving niet zou bestaan, zouden we de limieten waarmee de afgeleide is gedefinieerd niet kunnen berekenen.

• De uniciteit van het bestaan (of niet bestaan) van limieten impliceert dat als er in een punt een afgeleide bestaat, die uniek is. Geen enkele functie heeft in één punt meer afgeleiden. Ofwel één, ofwel geen.

• Net als bij eenzijdige limieten geldt: als een functie in een punt een afgeleide heeft, dan moeten de afgeleide van links en van rechts gelijk zijn.

• Soms moeten we de zogenoemde tweede afgeleide kennen. Dat is niets ingewikkelds: we differentiëren de functie gewoon één keer en daarna differentiëren we het resultaat nog een tweede keer. We noteren het met twee accenten: f''(x) = (f'(x))'.

• Een belangrijke eigenschap: als een functie in een punt een afgeleide heeft, dan is de functie in dit punt continu. Dit volgt opnieuw uit de eigenschappen van limieten. Let op: dit geldt niet andersom. Als een functie in een gegeven punt continu is, betekent dat niet dat ze daar differentieerbaar is. Een typisch voorbeeld is de functie f(x) = |x|. De grafiek heeft een knik, in die knik kunnen we de richtingscoëfficiënt van de raaklijn niet berekenen. Je kunt proberen de afgeleide van links en van rechts uit te rekenen, die zijn verschillend.

  

• Met afgeleiden kun je ook sommige limieten berekenen, daarvoor dient de regel van L'Hôpital.

Verwijzingen

In het volgende artikel vind je een lijst met formules voor het rekenen met afgeleiden. Nog meer vind je op Wikipedia.

Je kunt ook de uitgewerkte voorbeelden over afgeleiden bekijken en daarna eventueel de moeilijkere voorbeelden over afgeleiden.

Als je een berekening van een afgeleide snel wilt controleren, kun je een wiskundig hulpmiddel gebruiken, zoals Wolfram|Alpha. Je hoeft alleen in het invoerveld bijvoorbeeld “derivative x^2+6x” te typen en Wolfram berekent de afgeleide van de ingevoerde functie voor je.