Inleidende voorbeelden over afgeleiden

In dit artikel laten we eerst een paar nuttige formules zien voor het werken met afgeleiden en proberen we daarna de afgeleiden van een paar functies te bepalen — eenvoudige en ingewikkelde. Als je geen uitgewerkte voorbeelden zoekt, maar de definitie van de afgeleide uitgelegd wilt hebben, ga dan naar het artikel afgeleide van een functie.

Afgeleide van veeltermen

Eerst noemen we een paar formules die we nodig hebben bij het bepalen van afgeleiden van functies in de vorm van een veelterm. Links staat de elementaire functie die we willen differentiëren en rechts de functie die na het differentiëren overblijft. Voor de duidelijkheid: c is een constante (op de eerste regel staat dus een constante functie) en we differentiëren naar x.

$\begin{array}{rcl} c^{'} & = & 0 \\ x^{'} & = & 1 \\ (x^{c})^{'} & = & c \cdot x^{c - 1} \end{array}$

Een paar concrete voorbeelden:

$f (x) = 5$

Dit is een constante functie, dus we passen de eerste formule toe en krijgen:

$f^{'} (x) = 0.$

De lineaire functie f(x) = x heeft volgens de tweede formule de afgeleide

$f^{'} (x) = 1,$

daar valt verder niets aan te onderzoeken. Daarom proberen we de functie

$f (x) = x^{5}$

te differentiëren. We passen de laatste formule toe, waarbij we voor c de exponent invullen, dat wil zeggen c = 5.

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = 5 x^{5 - 1} = 5 x^{4}$

De formule werkt ook voor een negatieve exponent, dus als we de functie

$f (x) = x^{- 7}$

willen differentiëren, krijgen we:

$f^{'} (x) = c \cdot x^{c - 1} = - 7 x^{- 7 - 1} = - 7 x^{- 8} .$

Voor verdere oefeningen hebben we formules nodig voor het optellen en vermenigvuldigen van functies. En als we uit een gedifferentieerde functie de oorspronkelijke functie terug willen krijgen, gebruiken we integralen.

Afgeleide van een som

Als we de afgeleide willen berekenen van een functie die een paar uitdrukkingen in een som bevat, dan berekenen we eenvoudig de afgeleiden van de afzonderlijke termen en tellen we de tussenresultaten op. We schrijven het zo op:

$(f_{1} (x) + f_{2} (x))^{'} = f_{1}^{'} (x) + f_{2}^{'} (x)$

Een eenvoudig voorbeeld, stel dat we de functie f(x) = x + 5 hebben. De afgeleide van deze functie is:

$f^{'} (x) = x^{'} + 5^{'} = 1 + 0 = 1.$

We hebben de functie in twee functies gesplitst, zo:

$\begin{array}{rcl} f_{1} (x) & = & x \\ f_{2} (x) & = & 5 \end{array}$

en we hebben alleen maar in de formule ingevuld. Dat wil zeggen: we hebben de afgeleiden van de functies f₁ en f₂ berekend en de resultaten opgeteld. Voor aftrekken werkt het op dezelfde manier. Een moeilijker voorbeeld:

$f (x) = x^{3} + x - 8$

Weer differentiëren we gewoon de drie afzonderlijke termen en laten we ze in de som staan:

$f^{'} (x) = (x^{3})^{'} + x^{'} - 8^{'} = 3 x^{2} + 1 + 0$

Afgeleide van een product

Bij een product gaat het helaas niet zo eenvoudig als bij gewoon optellen: voor het product van twee functies moeten we een enigszins ingewikkelde formule gebruiken:

$(f (x) \cdot g (x))^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$

Een triviale functie met een vermenigvuldiging is bijvoorbeeld de functie

$s (x) = 5 \cdot x^{2}$

In de formule voor het product hebben we twee functies, die halen we uit deze ene functie s(x) zo: f(x) = 5 en g(x) = x². Nu hoeven we alleen nog even in te vullen:

$s^{'} (x) = 5^{'} \cdot x^{2} + 5 \cdot (x^{2})^{'} = 0 \cdot x^{2} + 5 \cdot 2 x = 10 x$

We zien dat als we een functie van de vorm

$f (x) = a \cdot x^{c}$

hebben, we na het differentiëren

$(a \cdot x^{c})^{'} = a \cdot (x^{c})^{'} = a \cdot c \cdot x^{c - 1}$

krijgen. Deze regel kunnen we nog veralgemenen en in plaats van een veelterm kunnen we een willekeurige functie invullen. Voor elke functie f(x) geldt dus

$(a \cdot f (x))^{'} = a \cdot f^{'} (x) .$

Als voorbeeld proberen we deze functie te differentiëren:

$f (x) = 5 x^{3} - 7 x^{2} + 10$

Aan het begin van het differentiëren passen we eerst de somregel toe:

$f^{'} (x) = (5 x^{3})^{'} - (7 x^{2})^{'} + 10^{'} =$

De uitdrukkingen met een product schrijven we uit volgens de laatstgenoemde formule:

$= 5 (x^{3})^{'} - 7 (x^{2})^{'} + 10^{'} =$

We differentiëren de uitdrukkingen tussen haakjes volgens de regel voor de afgeleide van x^c.

$= 5 \cdot 3 x^{2} - 7 \cdot 2 x + 0 =$

En tot slot vermenigvuldigen we alleen nog de coëfficiënten:

$= 15 x^{2} - 14 x .$

Afgeleide van een quotiënt

De afgeleide van een quotiënt is weer iets ingewikkelder dan de afgeleide van een product. De formule:

${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{g^{2} (x)}$

Maar verder is de werkwijze analoog aan die bij het product. Dus meteen een voorbeeld:

${(\frac{x^{2} + 3 x + 1}{2 x - 1})}^{'} =$

De teller van de breuk is de functie f(x), de noemer de functie g(x). En nu vullen we alleen nog in de formule in:

$= \frac{(x^{2} + 3 x + 1)^{'} (2 x - 1) - (x^{2} + 3 x + 1) (2 x - 1)^{'}}{(2 x - 1)^{2}} =$

In de noemer hebben we de noemer in het kwadraat en in de teller hebben we de breuk uitgeschreven volgens de formule. Nu differentiëren we de uitdrukkingen tussen het eerste en het laatste paar haakjes. Ook daar hebben we de somregel, die sla ik over en ik schrijf meteen het resultaat op:

$= \frac{(2 x + 3) (2 x - 1) - 2 (x^{2} + 3 x + 1)}{(2 x - 1)^{2}} = \dots$

Deze uitdrukking kunnen we nog wat vereenvoudigen, maar dat is in dit hoofdstuk niet meer van belang.

Afgeleiden van elementaire functies

Nu geven we, zonder verdere afleiding, een paar formules om de afgeleide van gangbare functies te berekenen.

Machten en logaritmen:

$\begin{array}{rcl} (c^{x})^{'} & = & c^{x} \ln c; c > 0 \\ (e^{x})^{'} & = & e^{x} \\ (^{a} \logx)^{'} & = & \frac{1}{x \cdot \ln a}; a > 0 \land a \neq 1 \\ (\ln x)^{'} & = & \frac{1}{x} \end{array}$

Let op: de afgeleide van de functie e^x is weer e^x, dat is geen typefout, maar een prettige eigenschap die de basis is geworden van heel veel grappen.

Goniometrische functies:

$\begin{array}{rcl} (\sin x)^{'} & = & \cos x \\ (\cos x)^{'} & = & - \sin x \\ (\tan x)^{'} & = & \frac{1}{\cos^{2} x} \\ (\cot x)^{'} & = & - \frac{1}{\sin^{2} x} \end{array}$

Een eenvoudig voorbeeld:

$(3 \sin x + 2 \ln x)^{'} =$

Beide uitdrukkingen staan in een som, dus het volstaat de afgeleiden van de twee gegeven uitdrukkingen op te tellen. Elke uitdrukking bevat aan het begin een constante die de functie erachter vermenigvuldigt — we weten dat het nu volstaat alleen de functie te differentiëren en de constante te laten staan. Dat doen we:

$= 3 (\sin x)^{'} + 2 (\ln x)^{'} =$

Dit zijn al standaardafgeleiden:

$= 3 \cos x + 2 \frac{1}{x} = 3 \cos x + \frac{2}{x} .$

Afgeleide van een samengestelde functie

Uit de eigenschappen van de afgeleide en uit de toepassing ervan bij het onderzoeken van het verloop van een functie weten we dat we onder bepaalde voorwaarden twee functies kunnen hebben die differentieerbaar zijn en dat we door ze samen te stellen weer een functie krijgen die differentieerbaar is. We laten zien hoe je de afgeleide van zo'n samengestelde functie berekent.

De afgeleide van een samengestelde functie is waarschijnlijk het moeilijkste begrip van deze basisafgeleiden. Functies als zodanig kunnen we samenstellen. Wat een samengestelde functie is, kun je uitgebreider lezen in de artikelen Wat is een functie of Domein van een functie. Ruwweg betekent het dat we als argument van de ene functie een andere functie invullen. De symbolische notatie zou er zo uitzien: h(g(x)). Een concrete functie kan bijvoorbeeld

$f (x) = \sin (2 x)$

zijn.

Welke twee functies zitten daarin? De sinus en dan de binnenste functie 2x. Op deze functie f kunnen we niet zomaar de algemene formule voor sin(x) loslaten, want die gaat ervan uit dat het argument x is, niet 2x. De afgeleide van een samengestelde functie berekenen we dus zo:

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & h (g (x)) \\ f^{'} (x) & = & h^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) \end{array}$

Dat wil zeggen: we differentiëren de buitenste functie en laten het argument hetzelfde en vermenigvuldigen dat met de gedifferentieerde binnenste functie. In het geval van dit voorbeeld met de sinus zou gelden:

$(\sin (2 x))^{'} = \sin^{'} (2 x) \cdot (2 x)^{'} =$

Dat accent alleen bij de sinus betekent dat we alleen de sinus zelf differentiëren, we differentiëren niet de hele uitdrukking zoals in de uitdrukking aan de linkerkant van de vergelijking. De afgeleide van de sinus is de cosinus, dus in plaats van de sinus schrijven we alleen de cosinus. En de afgeleide van 2x is 2:

$= \cos (2 x) \cdot 2 = 2 \cos (2 x) .$

Nog een voorbeeld, iets ingewikkelder.

$(\cos (\ln x^{2}))^{'} =$

Hier hebben we nog één geneste functie extra. De buitenste functie is de cosinus, de middelste is de logaritme en de binnenste is de macht x². We gaan weer te werk volgens de formule. We schrijven het uit:

$= \cos^{'} (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

We differentiëren alleen de cosinus, het argument van de cosinus laten we zoals het is, dus we laten de hele logaritme staan. Deze hele uitdrukking vermenigvuldigen we dan nog met de afgeleide van het argument, dus met de afgeleide van de logaritme. We differentiëren de cosinus en hebben:

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot (\ln x^{2})^{'} =$

De uitdrukking rechts is niet veranderd, we hebben alleen de cosinus gedifferentieerd. Nu gaan we de logaritme differentiëren. Ook dat is een samengestelde functie, dus we passen de formule voor een samengestelde functie recursief toe. De linker uitdrukking schrijven we alleen over:

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot \ln^{'} x^{2} \cdot (x^{2})^{'} =$

We differentiëren de logaritme en laten het argument hetzelfde, dus x². Maar de hele uitdrukking vermenigvuldigen we nog met de afgeleide van het argument, dus met de afgeleide van x². De afgeleide van de logaritme is de breuk 1/x, waarbij we voor x ons argument x² invullen, en de afgeleide van x² is 2x.

$= - \sin (\ln x^{2}) \cdot \frac{1}{x^{2}} 2 x = - \sin (\ln x^{2}) \cdot \frac{2}{x} = - \frac{2 \sin (\ln x^{2})}{x} .$

« Vorige: Afgeleide van een functie

Volgende: Gevorderde voorbeelden over afgeleiden »