Lineaire vergelijking

Een lineaire vergelijking is een vergelijking die we kunnen herleiden tot de vorm ax + b = 0, waarbij a ≠ 0. Een concreet voorbeeld kan er zo uitzien: 2x + 4 = 0. De oplossing van deze vergelijking is het getal −2, en dat kun je wel vrij logisch afleiden. Als er iets grotere getallen in staan, is die redenering niet meer zo eenvoudig, dus we hebben een concretere werkwijze nodig.

De standaardvorm van een lineaire vergelijking

Preciezer gezegd gaat het om een vergelijking met één onbekende x die we met equivalente bewerkingen kunnen herleiden tot de vorm ax + b = 0, waarbij a ≠ 0. De onbekende wordt daarin niet tot een macht verheven, er wordt geen wortel uit getrokken enzovoort. Vergelijkingen met de onbekende in de noemer van een breuk kunnen we alleen tot deze vorm herleiden als de noemer niet nul is. Die lossen we daarom apart op, zie lineaire vergelijkingen met de onbekende in de noemer. Bekijk voorbeelden van verschillende lineaire vergelijkingen:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Zoals je ziet, kan een lineaire vergelijking er heel verschillend uitzien. Om ze goed op te kunnen lossen, moeten we ze eerst in één vorm brengen, die we de standaardvorm noemen:

$$ax+b=0,$$

waarbij x de onbekende is en de symbolen a en b willekeurige reële getallen zijn, die we de coëfficiënten van de vergelijking noemen. Daarbij mag het getal a niet nul zijn, dus a ≠ 0. De uitdrukking ax noemen we de lineaire term, de uitdrukking b noemen we de constante term.

Bij het oplossen van een lineaire vergelijking kunnen we niet zonder equivalente bewerkingen, dus bewerkingen die de oplossing van de vergelijking niet veranderen. Zonder die bewerkingen kun je een ingewikkeldere vergelijking niet oplossen. De vergelijking kunnen we in de standaardvorm brengen door de uitdrukkingen in de vergelijking zelf te herleiden, of met equivalente bewerkingen van vergelijkingen.

We gaan terug naar de voorbeelden hierboven. De eerste vergelijking, 2x + 7 = 0, heeft de standaardvorm al, dus we zien meteen de coëfficiënten a = 2 en b = 7. Bij de tweede vergelijking, x − 2 = 74, is dat niet zo eenvoudig. Met een equivalente bewerking tellen we bij beide kanten het getal −74 op (oftewel we trekken van beide kanten het getal 74 af) en we krijgen x − 76 = 0. Dat is al de standaardvorm, met de coëfficiënten a = 1 en b = −76.

De derde vergelijking is nog ver van de standaardvorm, maar ook daar komen we uit. Eerst “maken” we aan de rechterkant nul: we tellen bij beide kanten de uitdrukking 12x op. De rechterkant wordt daardoor nul, omdat (−12x) + 12x = 0. De hele vergelijking ziet er dan zo uit:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Nu hoeven we alleen nog de haakjes weg te halen en de termen met x op te tellen.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Deze lineaire vergelijking staat in de standaardvorm en haar coëfficiënten zijn a = −8 en b = 3.

In de laatste vergelijking moeten we van de breuken af. We vermenigvuldigen daarom de hele vergelijking met het getal 72, dat deelbaar is door alle noemers:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Nu vereenvoudigen we de breuken:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

Aan de linkerkant tellen we op, aan de rechterkant vermenigvuldigen we:

$$39x=405x+72$$

Er rest nog een laatste stap: we trekken van beide kanten 405x en 72 af en de vergelijking staat in de standaardvorm:

$$-366x-72=0$$

We hebben dus de coëfficiënten a = −366 en b = −72 gekregen.

Hoe los je een lineaire vergelijking op

Als we een lineaire vergelijking in de standaardvorm hebben, is het oplossen eenvoudig. We laten het zien met een voorbeeld: 3x − 18 = 0. Waarvan moeten we het getal 18 aftrekken om nul te krijgen? Nou, van het getal 18. Om de uitdrukking 3x − 18 gelijk aan nul te laten zijn, moet de uitdrukking 3x dus gelijk zijn aan 18, dan krijgen we 18 − 18 = 0. Wanneer is de uitdrukking 3x gelijk aan 18? Precies als x = 6, want 3 · 6 = 18.

Hoe leiden we hieruit een algemene werkwijze af? Eerst moeten we uitzoeken waaraan de lineaire term ax gelijk moet zijn. Dat doen we door de constante term naar de rechterkant van de vergelijking te brengen, dus we tellen −b bij de vergelijking op. Zo krijgen we de vergelijking ax + b − b = −b, en dat is hetzelfde als ax = −b. In het vorige voorbeeld zouden we dus 3x − 18 + 18 = 18 krijgen, dus 3x = 18. Vergeet niet dat het getal b gelijk was aan b = −18, dus als we −b optellen, tellen we −(−18) op en dat is gelijk aan +18.

We hebben de vergelijking in de vorm ax = −b. Hoe krijgen we direct x? In het voorbeeld zochten we de x die we met drie moeten vermenigvuldigen om 18 te krijgen. Wat deden we eigenlijk? We deelden 18/3 = 6. We namen dus de uitdrukking aan de rechterkant (−b) en deelden die door de waarde a, in het voorbeeld door drie. Uit ax = −b krijgen we dus

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

De hele werkwijze, toegepast op het eerste voorbeeld, ziet er zo uit:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Meetkundige betekenis

Als we een lineaire vergelijking in de standaardvorm brengen, krijgen we aan de linkerkant een lineaire functie. De grafiek van een lineaire functie is een lijn. Omdat de standaardvorm van een lineaire vergelijking er zo uitziet, ax + b = 0, zijn de oplossingen van deze vergelijking alle punten waarin de lijn (de grafiek van de lineaire functie) de x-as snijdt (en dat is tegelijk de grafiek van de functie f(x) = 0, dus van de rechterkant).

We hebben bijvoorbeeld gevonden dat de oplossing van de vergelijking 3x − 18 = 0 gelijk is aan x = 6. Wat betekent dat? Dat de grafiek van de functie 3x − 18 de x-as snijdt in het punt x = 6.

We proberen de vergelijking 5x + 2 = 2x − 7 grafisch op te lossen. Hoe kunnen we te werk gaan? We kunnen de vergelijking in de standaardvorm brengen, dus we tellen −2x op, waardoor we 3x + 2 = −7 krijgen, en daarna tellen we 7 op: 3x + 9 = 0. Nu tekenen we de grafiek van de lineaire functie y = 3x + 9 en kijken wanneer die de x-as snijdt.

De tweede manier is dat we de vergelijking helemaal niet herleiden, maar de grafieken laten tekenen van de functies aan beide kanten van de vergelijking. We tekenen dus de grafieken van de functies f(x) = 5x + 2 en g(x) = 2x − 7.

Deze twee lijnen snijden elkaar in één punt, dat we A hebben genoemd. Welke x-coördinaat heeft dit punt A? Opnieuw x = −3. De grafische oplossing van de vergelijking 5x + 2 = 2x − 7 is dus de x-coördinaat van het snijpunt van de grafieken van de functies aan de linker- en rechterkant.

Uitgewerkte voorbeelden

Eerste voorbeeld: We proberen de vergelijking 7x − 14 = 0 op te lossen. De situatie is eenvoudig, de vergelijking staat in de standaardvorm, dus we passen alleen de werkwijze toe:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Tweede voorbeeld: Los de vergelijking 2x + 10 = 0 op. De vergelijking staat opnieuw in de standaardvorm, je moet er alleen op letten dat b positief is en dat je dus na het herleiden aan de rechterkant een negatief getal krijgt:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Derde voorbeeld: Los de vergelijking 15 − 3x = 0 op. De vergelijking staat bijna in de standaardvorm, we hoeven alleen de onbekende x op de eerste plaats te zetten. Dan hebben we de vorm −3x + 15 = 0. Let er weer op dat er hier een min voor de lineaire term staat, wat we tot nu toe niet hadden. De bewerkingen zijn echter precies hetzelfde:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

Het voorbeeld kunnen we ook een beetje anders oplossen, op een langere manier. In plaats van de vergelijking meteen door −3 te delen, kunnen we de vergelijking eerst met −1 vermenigvuldigen, waardoor we van beide minnen af zijn. En daarna kunnen we de vergelijking door drie delen:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Vierde voorbeeld: Los de lineaire vergelijking op

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Deze vergelijking is al iets ingewikkelder, want er staan breuken in. Eerst moeten we van die breuken af. Het beste is om de hele vergelijking te vermenigvuldigen met het kleinste gemene veelvoud van alle noemers. We hebben twee noemers, 4 en 2. Het kleinste gemene veelvoud is 4. Als je geen zin hebt om te rekenen, kun je de hele vergelijking ook vermenigvuldigen met het product van alle noemers, dus 4 · 2 = 8, maar dat is niet de aanbevolen werkwijze, omdat je het jezelf een stap verderop moeilijker maakt. Als we de vergelijking met vier vermenigvuldigen, raken we de breuken kwijt doordat we ze achtereenvolgens vereenvoudigen:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Nu herleiden we de vergelijking tot de standaardvorm: x − 12 = 0 en uit deze vergelijking zien we al dat x = 12.

Vijfde voorbeeld / tekstopgave: We hebben twee broers, Sem en Daan. Sem ging meteen na de middelbare school aan het werk, terwijl Daan nog naar de universiteit ging, waar hij in totaal vijf jaar studeerde. Sem kreeg elke maand een salaris van € 2500. Hoewel Daan recreologie heeft gestudeerd, met als specialisatie liggen op een ligbed, is het hem gelukt een baan bij de overheid te krijgen, waar hij € 3500 per maand verdiende. Na hoeveel tijd heeft Daan in totaal evenveel verdiend als Sem? Ter verduidelijking: in vijf jaar heeft Sem 5 · 12 · 2500 euro verdiend, terwijl Daan na vijf jaar nog geen cent heeft verdiend. Na hoeveel maanden is dit bedrag gelijk?

Uit de opgave kunnen we zo een lineaire vergelijking opstellen: de variabele x stelt het gezochte aantal maanden voor, waarbij x = 0 betekent: nul maanden nadat Daan is afgestudeerd.

Eerst stellen we een functie op die Daans inkomen geeft, afhankelijk van het aantal maanden. Als we bijvoorbeeld Daans inkomen na zes maanden willen weten, rekenen we eenvoudig uit dat 3500 · 6 = 21 000 euro. In het algemeen kunnen we opschrijven dat Daan na x maanden in totaal 3500 · x euro heeft verdiend.

Bij Sem is het vergelijkbaar: 2500 · x, maar we moeten er nog het bedrag bij optellen dat hij heeft verdiend terwijl Daan studeerde. Daan studeerde vijf jaar, dus Sem verdiende tijdens zijn studie 5 · 12 · 2500 euro. Het hele functievoorschrift voor Sem wordt dus: 5 · 12 · 2500 + 2500 · x.

Deze functies zetten we in een vergelijking, omdat we willen weten voor welke x deze inkomsten gelijk zijn:

$$5\cdot 12\cdot 2500+2500\cdot x=3500\cdot x$$

De vergelijking herleiden we eenvoudig door alle x naar één kant van de vergelijking te brengen:

$$1000x=5\cdot 12\cdot 2500$$

En tot slot delen we alleen nog door 1000:

$$x=5\cdot 12\cdot 2,5=150$$

Na 150 maanden hebben beiden evenveel geld. Sem heeft tijdens Daans studie een mooi bedrag van 5 · 12 · 2500 = 150 000 euro verdiend, plus in nog eens 150 maanden verdiende hij 2500 · 150 = 375 000, dat is in totaal 150 000 + 375 000 = 525 000 euro. Daan heeft alleen deze 150 maanden gewerkt en in die tijd verdiende hij 3500 · 150 = 525 000 euro. We zien dat beiden na vijf jaar studie en nog eens 150 maanden inderdaad evenveel hebben verdiend.

Meer voorbeelden

Los de volgende lineaire vergelijking op:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Eerst werken we de haakjes uit:

$$2x-14=6$$

Nu laten we aan de linkerkant de uitdrukking met de onbekende staan en brengen we al het andere naar de rechterkant:

$$2x=20$$

… en tot slot delen we door twee.

$$x=10$$

Los de vergelijking op

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Opnieuw werken we eerst de haakjes uit:

$$9-3x+5x-10=0$$

We tellen op wat op te tellen valt en brengen de variabelen naar de linkerkant en de rest naar de rechterkant:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Tot slot delen we de hele vergelijking door twee:

$$x=\frac{1}{2}$$