Prosentregning

Prosent betegner vanligvis en relativ del av en helhet, og helheten selv uttrykkes som 100 %. Prosent kan alltid skrives om til en brøk.

Prosent som del av en helhet

Vi bruker prosent når vi vil uttrykke en del av en helhet. Prosent kan erstatte uttrykk som «en fjerdedel av klassen fikk karakteren 1» eller «annenhver person er en mann». Vi har alltid en helhet, for eksempel en hel klasse elever, og så sier vi at en fjerdedel av dem fikk karakteren 1. Hvis det er 32 elever i klassen og en fjerdedel av dem fikk karakteren 1, er det totale antallet elever som fikk karakteren 1, lik:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{som er det samme som}\frac{32}{4}=8$$

I det andre tilfellet kan vi ha en by, la oss si Tromsø. Den har omtrent 80 000 innbyggere. Hvis annenhver innbygger er en mann, betyr det at halvparten av dem er menn, og det skriver vi slik:

$$\frac{1}{2}\cdot 80000=40000\text{som er det samme som}\frac{80000}{2}=40000$$

Videre kunne vi si at «hver hundrede person i Tromsø er matematiker». Da ville det gjelde at vi har $\frac{1}{100}\cdot 80000=800$ matematikere i Tromsø. «Hver hundrede» er det samme som «én hundredel av innbyggerne».

Nå kan vi innføre begrepet prosent. Én prosent, som vi skriver 1 %, betyr én hundredel av helheten. Det betyr at når vi sier at «hver hundrede person i Tromsø er matematiker» og «én prosent av menneskene i Tromsø er matematikere», sier vi det samme. Én prosent av en helhet regner vi ut ved å multiplisere helheten med $\frac{1}{100}$ eller dividere den med 100, det er det samme.

Prosent kan vi enkelt gjøre om til brøker og regne videre med dem. Hvis vi sier at «x % av menneskene i Tromsø har mørkt hår», er det det samme som å si at «$\frac{x}{100}\cdot 80000$ mennesker i Tromsø har mørkt hår». 100 % representerer da hele helheten, altså alle innbyggerne. Setningen «100 % av elevene gikk videre til neste årstrinn» betyr at alle elevene gikk videre. Setningen «0 % av elevene strøk» sier at ingen strøk. Eksempler:

1. 35 % av innbyggerne i Tromsø tar bussen. Hvor mange tar bussen? 35 % er det samme som $\frac{35}{100}$ av helheten (= «trettifem hundredeler av helheten»). Vi regner altså ut: $\frac{35}{100}\cdot 80000$. Det kan vi enkelt regne ut ved først å dividere 80 000 med hundre og så multiplisere resultatet med 35. Egentlig gjør vi denne omformingen:

   $$\frac{35}{100}\cdot 80000=\frac{35\cdot 80000}{100}=\frac{35\cdot 800}{1}=35\cdot 800=28000$$

   Vi kan tenke oss at vi først regner ut antallet innbyggere som tilsvarer én prosent: $\frac{1}{100}\cdot 80000=800$. Én prosent tilsvarer 800 innbyggere. Vi vil vite 35 % av innbyggerne, så vi multipliserer bare disse 800 innbyggerne med 35 · 800 = 28 000.

2. Henrik tjener i gjennomsnitt 1000 kroner om dagen. I dag tjente han bare 75 % av den gjennomsnittlige dagslønnen sin. Hvor mye tjente Henrik? Framgangsmåten er fortsatt den samme. Helheten er 1000, og 75 % gjør vi om til brøken $\frac{75}{100}$. Denne brøken kan vi forkorte til brøken $\frac{3}{4}$. Vi multipliserer helheten med denne brøken:

   $$\frac{3}{4}\cdot 1000=\frac{3\cdot 1000}{4}=3\cdot 250=750$$

3. Neste dag tok Henrik seg sammen og tjente 150 % av den gjennomsnittlige dagslønnen sin. Hvor mye tjente han? Kan vi i det hele tatt ha mer enn 100 %, når vi sa at 100 % er helheten? Ja, det går an. Akkurat som noen kan tjene «tre ganger så mye penger som gjennomsnittet», kan noen tjene 150 % av gjennomsnittet sitt.

   Vi går fram på nøyaktig samme måte. 150 % gjør vi om til brøken $\frac{150}{100}$, og med denne brøken multipliserer vi Henriks gjennomsnittlige dagslønn, altså 1000:

   $$\frac{150}{100}\cdot 1000=\frac{150\cdot 1000}{100}=\frac{150\cdot 10}{1}=150\cdot 10=1500$$

Prosent og enhetsmetoden

En del av en helhet uttrykt i prosent kan vi enkelt regne ut med enhetsmetoden. La oss holde oss til Henrik, som i gjennomsnitt tjener 1000 kroner om dagen og i dag tjente 75 % av gjennomsnittslønnen sin. Det kan vi nemlig skrive slik:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 1000\text{ kroner}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ kroner}\end{array}$$

Siden dette er en proporsjonal sammenheng, får vi formen:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{1000}$$

Vi multipliserer likningen med 1000 og får:

$$\frac{75\cdot 1000}{100}=x$$

Og derfra regner vi lett ut resultatet:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 1000}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 10}{1}& =& x\\ x& =& 75\cdot 10\\ x& =& 750\end{array}$$

Vi ser at vi fikk samme tall.

Hva om vi kjenner delen, men ikke helheten?

I de forrige eksemplene regnet vi alltid med at vi kjenner den nøyaktige verdien av helheten og skal regne ut en bestemt del oppgitt i prosent. Men hva om vi kjenner delen og ikke helheten? Eksempel: Henrik har 120 samlekort med et stort grønt monster. Men selv om det er et respektabelt antall kort med grønne monstre, har han fortsatt bare seksti prosent av kortene til Ingrid. Hvor mange kort har Ingrid?

Her kjenner vi delen, men ikke helheten — den skal vi først regne ut. Nå vet vi at 120 kort tilsvarer 60 % av kortene Ingrid har. For å finne ut hvor mange kort som tilsvarer én prosent, er det nok å dividere de hundre og tjue med seksti. Vi får to, 120/60 = 2. Én prosent av kortene er altså to kort med grønt monster. Siden vi regner ut helheten — og den er alltid 100 % — multipliserer vi dette antallet kort med hundre. Og vi har 200 kort, som er det riktige resultatet.

Vi kan kontrollere det ved å regne ut 60 % av 200: Vi multipliserer rett og slett

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Vi ser at 60 % av 200 er 120, som er nøyaktig antallet kort med grønt monster Henrik har.

Addisjon av prosent

Når vi skal regne ut en oppgave med prosent, er det alltid best å regne ut de nøyaktige verdiene i stedet for prosentene og så legge dem sammen. Oppgaven kunne for eksempel lyde slik: Jakob tjener 30 000, Filip 40 000 og Nora 50 000 kroner. Regn ut hvor mange kroner Sofie tjener, når hun tjener 30 % av det Jakob tjener pluss 40 % av det Filip tjener pluss 25 % av det Nora tjener.

Her har vi tre uttrykk med prosent, men hvert uttrykk kommer fra en ulik helhet. Jakob, Filip og Nora tjener hver sitt beløp. Først regner vi altså ut 30 % av lønnen til Jakob. Det er 30 000/100 = 300. Deretter multipliserer vi 300 · 30 og får 9000. Så er det 40 % av lønnen til Filip. Det er 40 000/100 = 400. Igjen multipliserer vi med 40 og får 400 · 40 = 16 000. Den siste delen er 25 % av Noras lønn. Hun tjener 50 000, og av det er én prosent 50 000/100 = 500. Ved å multiplisere med 25 får vi 500 · 25 = 12 500. Nå legger vi bare sammen alle delresultatene: 9000 + 16 000 + 12 500 = 37 500. Sofie tjener 37 500 kroner, som er en ganske fin lønn.

Det kan imidlertid hende at vi faktisk skal legge sammen prosentene. Prosent kan vi bare legge sammen når de har samme grunnlag, samme helhet. Hvis for eksempel Lukas tjente 20 % av det Filip tjener pluss 30 % av det Filip tjener, kan vi legge sammen prosentene, fordi det er samme grunnlag — begge uttrykkene regner med grunnlønnen til Filip. Resultatet blir altså 20 % + 30 % = 50 %. Lukas tjener halvparten av det Filip tjener, tjue tusen.

Den lumske kaskadeaddisjonen av prosent

Forestill deg nå følgende situasjon: Emma tjente 40 000 det første året. Det andre året fikk hun lønnsøkning, og lønnen hennes ble økt med 30 %. Det neste, tredje året fikk hun igjen lønnsøkning, denne gangen bare på 10 %. Spørsmålet er: Hva er lønnen til Emma nå?

Denne typen oppgaver frister veldig til å legge sammen prosentene på samme måte som i forrige tilfelle. Vi regner jo fortsatt — tilsynelatende — med samme grunnlag, lønnen til Emma. Så vi regner ut 30 % + 10 % og legger det til grunnlønnen hennes. Emma ville da tjent 56 000 kroner. Men det er ikke slik. La oss gå gjennom det.

Det første året tjente hun 40 000. Det andre året tjente hun 40 000 + 30 %. Det er 52 000, som du sikkert allerede har regnet ut selv. Og så økte de lønnen hennes med ti prosent det neste året. Men pass på! Grunnlaget er ikke lenger de førti tusenene hun hadde det første året. Grunnlaget er nå femtito tusen! Og som vi vet, kan vi bare legge sammen prosent når de regnes av samme grunnlag. I vårt tilfelle er grunnlaget ulikt. Første gang var det 40 000, og nå er det 52 000. Det siste året tjente Emma altså 52 000 + 10 %, som er 57 200.

Løsningen med 56 000 var både feil, og dessuten snytte vi stakkars Emma for 1200 kroner. Ikke vær slem mot Emma!

Kjøp mattebok på salg!

Et klassisk eksempel er også med rabatt. Forestill deg at butikken har en mattebok som du veldig gjerne vil ha i julegave. Hva annet skulle du ønske deg, ikke sant? :-)

Før jul setter butikken imidlertid opp prisen på boka med 20 %. Du sier til deg selv at du heller venter og kjøper den etter jul. Det var smart, for etter høytiden satte butikken ned prisen på boka med 20 %. Spørsmålet er — koster boka det samme som før prisøkningen? Eller koster den mer/mindre?

Sunn fornuft sier igjen til noen at boka vil koste det samme, men det stemmer ikke. La oss regne ut. La oss si at boka kostet 300 kroner. En prisøkning på 20 % betyr at boka ble dyrere med $\frac{20}{100}\cdot 300=60$ kroner. Boka kostet altså 360 kroner.

Men en prisreduksjon på 20 % regnes ikke lenger av grunnlaget 300, men av grunnlaget 360! Det betyr at boka blir billigere med $\frac{20}{100}\cdot 360=72$ kroner. Boka koster etter prisreduksjonen 288 kroner.

(Men ærlig talt, hvem skulle kjøpe en mattebok når Matte på godt norsk finnes for deg ;-))

Promille

Promille brukes oftest når alkohol i blodet til en sjåfør måles. Noen tror feilaktig at promille er en tusendel av en prosent, men det er feil, vær oppmerksom på det. Promille er en tusendel av helheten. Ellers regner man med promille akkurat som med prosent. Hvis du vil finne x promille av 5000, regner du det ut som $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. I stedet for 100 står det 1000 i nevneren. Tre promille av 5000 er altså $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Promille skrives med symbolet ‰. Det gjelder altså at $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Mer i en egen artikkel om promille.

Typografi for prosent

På norsk skriver vi prosenttegnet med mellomrom etter tallet: «100 %», ikke «100%». Tenk på det når du skriver, og ikke bli for opprørt hvis avisene har det feil :-).

Prosentpoeng

Ved siden av vanlig prosent kan vi også ha prosentpoeng. Hva er forskjellen? Forestill deg at nettleseren Firefox for to år siden ble brukt av 20 % av folk, men i år bruker 30 % av folk den. Hva er økningen mellom disse to årene? Det ville være feil å si at økningen er ti prosent. Hvis Firefox først ble brukt av 20 % av folk og deretter av 30 %, betyr det at nå bruker halvparten flere den enn før. Det er en økning på femti prosent.

Men det er litt dumt å si at økningen er 50 %, når det ville vært mer forståelig for alle om vi sa at prosenttallet økte med ti. Og akkurat til det har vi prosentpoeng. I dette tilfellet kan vi si at økningen i bruken av nettleseren Firefox er ti prosentpoeng. Prosentpoeng kan vi bruke når vi vil uttrykke en enkel differanse mellom to prosentvise opplysninger.