Slik konstruerer du en trekant

En trekant er en mangekant som har nøyaktig tre sider. Disse sidene betegner vi med små bokstaver, vanligvis a, b, c. En trekant har også tre hjørner, som vi betegner med store bokstaver, vanligvis A, B, C. Siden a svarer da til linjestykket BC, siden b til linjestykket AC og siden c til linjestykket AB. Siden a er alltid overfor hjørnet A, og tilsvarende for de andre sidene.

Vi kjenner alle de tre sidene

Hvis vi kjenner lengdene av alle de tre sidene, er det nesten barnemat å konstruere trekanten. Vi velger en av sidene, for eksempel AB, og tegner den som et vanlig linjestykke. Deretter må vi finne ut hvor det tredje punktet ligger. Det gjør vi enkelt: Vi tar passeren, setter spissen i punktet B og tegner en sirkel med radius lik lengden av siden BC, for eksempel fem centimeter. Da finner vi ut hvor punktet C kan ligge for at det skal ha nøyaktig fem centimeters avstand fra punktet B. Deretter gjør vi det samme med siden AC og punktet A. Nå har vi to sirkler, og skjæringspunktet mellom dem gir oss et punkt som har den oppgitte avstanden i centimeter fra hjørnet A og også fra punktet B.

Vi kjenner to sider og høyden

Hver side i trekanten har sin høyde, som er definert som normalen fra det motstående punktet til den gitte siden. Hvis normalen ikke skjærer selve siden, må vi forlenge siden til der den skjærer normalen. Den grunnleggende egenskapen til høyden er altså at den står vinkelrett på siden den hører til. Det utnyttes ofte i regneoppgaver, siden vi da kan bruke Pytagoras' setning. Høyden på siden c skriver vi vanligvis med den lille bokstaven h og en nedsenket indeks som angir hvilken side høyden hører til. Altså i vårt tilfelle h_c. Fotpunktet (skjæringspunktet mellom siden og normalen) betegnes på liknende måte, bare at vi i stedet for den lille h-en skriver en stor P: P_c.

Vi trakk høyden fra hjørnet C. Det andre punktet ligger på den motstående siden AB (altså siden c), og linjestykket CP_c står vinkelrett på siden c. Punktet P_c kalles fotpunktet til høyden, og siden c kaller vi grunnlinjen. Fotpunktet navngir vi vanligvis med bokstaven P og en nedsenket indeks, der indeksen er hjørnet som høyden går ut fra. I dette tilfellet er det hjørnet C.

Det er ganske enkelt å tegne en høyde: Du tar linjalen og trekker en normal fra siden c slik at denne normalen går nøyaktig gjennom punktet C. Det er alt.

Vi kan trekke en høyde fra hvert hjørne i trekanten. Alle høydene skjærer hverandre i ett punkt som kalles ortosenteret. Ortosenteret kan ligge inni trekanten, men det trenger ikke. I en spissvinklet trekant ligger ortosenteret inni trekanten.

Vi kjenner to sider og en median

I tillegg til høyden har hver trekant også tre medianer. En median er et linjestykke som forbinder et hjørne med midtpunktet på den motstående siden. Alle de tre medianene skjærer hverandre i ett enkelt punkt som kalles tyngdepunktet. Dette tyngdepunktet deler så medianene alltid i forholdet 2:1 – delen av medianen før tyngdepunktet er enten dobbelt så kort eller dobbelt så lang som den andre delen etter tyngdepunktet. Medianene navngir vi med den lille bokstaven m og en nedsenket indeks som angir siden de hører til. Tyngdepunktet navngir vi vanligvis med én stor bokstav T.

Hvis du kjenner to sider og medianen til en av disse to sidene, er trekanten veldig lett å konstruere. Du begynner igjen med å tegne siden AB, og så finner du ut hvor punktet C ligger ved å tegne to sirkler, den første med sentrum i punktet B (eller A, hvis du kjenner lengden av AC) og den andre med sentrum i midtpunktet på siden AB. Punktet der sirklene skjærer hverandre, er det punktet C vi leter etter. Jeg mener at vi ikke trenger noen ny figur, for framgangsmåten er den samme som i det første tilfellet, bare at du i stedet for trekanten ABC først tegner trekanten M_cBC, og av den finner du hjørnet C du leter etter.

Vi kjenner to sider og en annen median

Se først på skissen av hvordan det omtrent skal se ut:

De røde størrelsene kjenner vi, og ut fra dem skal vi tegne hele trekanten. Framgangsmåten er følgende – vi utvider denne trekanten til en firkant og tegner resten ut fra firkanten. Følgende figur forklarer det tydelig (jeg minner om at lengden BD er lik det dobbelte av lengden m_b).

Denne firkanten tegner vi enkelt. Først tegner vi trekanten ABD. Lengden av siden AB kjenner vi, lengden av siden BD er 2m_b, og lengden AD er den samme som lengden BC. Punktet C finner vi enten ved å finne punktet M_b, som er midtpunktet på linjestykket BD, og så bare tegne halvlinjen AM_b, og lengden AC er lengden 2AM_b. Den andre muligheten er å tegne en linje parallell med siden AB, og punktet C vil da ligge på denne linjen og ha avstanden |AB| fra punktet D.