Vinkel

Hvis du har en vinkel og vil kopiere den et annet sted, kan du bruke metoden for å avsette vinkler.

Hva er en vinkel

Å definere en vinkel er ikke helt enkelt, og det finnes ulike versjoner. Men for våre behov kan denne varianten være nok: En vinkel er den delen av planet som er avgrenset av to halvlinjer med felles startpunkt. Det viktige i denne definisjonen er at en vinkel ikke bare er de to vinkelbeina, men hele flaten, hele den delen av planet, som de to vinkelbeina spenner opp. Se følgende figur:

Den forrige figuren var imidlertid ikke helt riktig, for vi har ikke presisert hvilken vinkel vi mener. Ved første øyekast kunne vi riktignok forestille oss vinkelen ABC som den nevnte flaten, men vi kunne like gjerne forestille oss den andre delen av planet:

Derfor bør vi når vi skriver vinkler skille mellom en konveks vinkel (en som er mindre enn 180°) og en ikke-konveks vinkel (mer enn 180°). En ikke-konveks vinkel kan vi også kalle en konkav vinkel. Det kan for eksempel skrives ved hjelp av en orientert vinkel.

En vinkel kan ha enten positiv eller negativ orientering. Ved positiv orientering går vi mot urviserne, og ved negativ orientering med urviserne. Når vi skriver vinkelen ABC, nevnes altså halvlinjen BA først og halvlinjen BC som nummer to. I positiv retning ser vi på halvlinjen BA og går videre mot urviserne. I eksemplet ovenfor ville vi fått den første figuren, den konvekse vinkelen. Hvis vi hadde bestemt oss for negativ retning, ville vi fått den konkave vinkelen, altså den andre figuren. Vanligvis regner vi med positiv retning, og i denne artikkelen skriver vi også alt i positiv forstand.

En vinkel består altså av to vinkelbein som avgrenser vinkelen, av toppunktet som halvlinjene går ut fra, og av flaten som vinkelbeina avgrenser. Hvis vi har vinkelen ABC, er vinkelbeina BA og BC, og toppunktet er B.

Størrelsen på en vinkel

På samme måte som vi kan måle lengden av et linjestykke, kan vi måle størrelsen på en vinkel. Den måles enten i vanlig gradmål, som du sikkert kjenner, eller i buemål. Gradmålet er enkelt: 90° er en rett vinkel (for eksempel er hver av de indre vinklene i et kvadrat 90°), 180° er en strak vinkel (den spennes opp av for eksempel to halvlinjer som peker i motsatt retning), og 360° er en full vinkel (den spennes opp av halvlinjer som ligger oppå hverandre – en slik vinkel består av hele planet rundt). En grad deles videre inn i bueminutter (skrives ′) og buesekunder (skrives ″). En grad har 60 bueminutter, og ett bueminutt har seksti buesekunder. 1° = 60′ og 1′ = 60″.

Figurer av de enkelte vinklene:

Buemål er litt vanskeligere å forestille seg, for her regner vi med radianer, som er dimensjonsløse. Størrelsen på en radian og andre egenskaper har jeg imidlertid beskrevet i artikkelen om trigonometriske funksjoner, så jeg gjentar ikke det her.

Etter størrelse kan vi videre dele vinkler inn i spisse vinkler, som er mindre enn 90°, og stumpe vinkler, som er mellom 90° og 180°. Dette er på en måte en delmengde av de konvekse vinklene som jeg viste ovenfor. Mer enn 180° er en konkav vinkel, som ikke deles videre.

Vinkelpar

Noen bestemte vinkelpar har ulike egenskaper som det er greit å kjenne til.

• Toppvinkler er vinkler som har felles toppunkt, og som har vinkelbein som danner motsatte halvlinjer. Toppvinkler er alltid like store, de har samme størrelse.

• Nabovinkler er vinkler som har ett felles vinkelbein, mens de andre vinkelbeina er motsatte halvlinjer. Summen av nabovinkler er alltid lik 180°, en strak vinkel.

• Samsvarende vinkler er vinkler der de første vinkelbeina er parallelle, og de andre ligger på samme linje. Vinklene må også ha samme orientering. Samsvarende vinkler er like store.

Det finnes flere typer vinkler, men de er bare posisjoner som kan utledes av de tre plasseringene som er beskrevet ovenfor.

Regning med vinkler

Med vinkler kan vi utføre enkelte elementære operasjoner. Den mest grunnleggende er addisjon. Numerisk er det nesten ikke noe å gjøre feil her, du legger bare sammen størrelsene på vinklene. Hvis en vinkel er større enn 360°, gjør vi den vanligvis om til en enklere form et sted i intervallet 0° − 360°. Det er rett og slett som om du regnet i et tallsystem med grunntall 360. På samme måte må du, hvis oppgaven har bueminutter eller buesekunder, regne i sekstitallssystemet (som på en vanlig klokke).

Så her er et eksempel for sikkerhets skyld. Legg sammen disse vinklene: α = 183° 51′ og β = 222° 24′. Først regner vi ut bueminuttene 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (framgangsmåten er enkel, du deler 75 på seksti. Resultatet gir antall grader, og resten gir antall bueminutter som er igjen). Nå regner vi ut gradene: 183° + 222° = 405°. Til dette delresultatet legger vi det forrige resultatet: 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Nå trekker vi 360 fra denne vinkelen helt til den ligger i intervallet mellom 0 og 360. Vi trekker fra fordi vi er tilbake til begynnelsen når vi har gått en vinkel på 360°, og en vinkel på 361° blir på papiret like stor som en vinkel på 1°. Da får vi denne utregningen: 406° 15′ = 46° 15′.

• Wikipedia