Definisjonsmengde

Definisjonsmengden til en funksjon er alle tillatte verdier vi kan sette inn for argumentet x i funksjonen f(x) slik at funksjonen gir mening.

Hva definisjonsmengden til en funksjon er

Et enkelt eksempel er funksjonen f(x) = 1/x. Definisjonsmengden er mengden av alle tillatte verdier som gir et gyldig uttrykk når vi setter dem inn i funksjonen 1/x.

For å vite hva et «gyldig uttrykk» er, må vi kjenne egenskapene til funksjoner og regneoperasjoner. I funksjonen vår deler vi på variabelen x, altså står variabelen x i nevneren i brøken. Hvilke verdier kan vi dele på? Alle unntatt null. Vi kan ikke dele på null, og derfor kan ikke null stå i nevneren i en brøk. Divisjon har ingen andre begrensninger.

Derfor kan vi sette inn et hvilket som helst reelt tall for x unntatt null. Definisjonsmengden er altså: D_f = ℝ ∖ {0}. Definisjonsmengden skriver vi vanligvis med bokstaven D, og med funksjonen vi finner definisjonsmengden til, som indeks.

Nå har vi regnet ut den største definisjonsmengden. Men siden vi har definert definisjonsmengden som mengden av verdier vi kan sette inn for x, gjelder det også at hver delmengde av definisjonsmengden igjen er en definisjonsmengde. Av og til kan det være nyttig å begrense funksjonen til bare noen x. For eksempel begrenser vi oss i tallfølger til naturlige tall, og i trigonometri regner vi ofte bare med intervallet [0, 2π].

Hvis vi får en oppgave der vi skal bestemme definisjonsmengden til en funksjon, forutsetter vi vanligvis at vi skal finne den størst mulige definisjonsmengden.

Definisjonsmengden kan vi også lese av fra grafen til funksjonen. Som eksempel tar vi grafen til den forrige funksjonen f(x) = 1/x.

Hvis du projiserer grafen ned på x-aksen, får du definisjonsmengden. Hvis punktet x ikke er et element i definisjonsmengden, og du trekker en loddrett linje gjennom dette punktet på x-aksen, skjærer ikke linjen noe punkt på grafen. Vi ser at bare null oppfyller denne betingelsen. Over og under null er det ikke noe punkt på grafen til funksjonen. Alle de andre punktene har det.

Å regne ut definisjonsmengden

For å regne ut definisjonsmengden til en sammensatt funksjon må du kjenne definisjonsmengdene til alle funksjonene den er satt sammen av. Ellers går det ikke. Hvis jeg ba deg regne ut definisjonsmengden til funksjonen f(x) = en(x) + to(x), ville du ikke kommet noen vei, for du vet ikke hvordan funksjonene en og to er definert. Her er definisjonsmengdene til noen elementære funksjoner:

• Logaritmefunksjonen har D_f = ⟨0, → ⟩.
• Kvadratroten har D_f = [0, → ⟩.
• Tangens har D_f = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• Cotangens har D_f = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• Eksponentialfunksjoner har D_f = ℝ.
• Lineære funksjoner og andregradsfunksjoner har D_f = ℝ.

Hvis du bare har én funksjon, er det veldig enkelt. Vi finner ut hvilken definisjonsmengde funksjonen har, ser på argumentet og setter det inn i en likning eller ulikhet. Et eksempel: bestem definisjonsmengden til funksjonen lg(3x + 2). Argumentet til logaritmen må være positivt, så det må gjelde 3x + 2 > 0. Det er en lineær ulikhet, som vi løser enkelt:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Definisjonsmengden er alle x som oppfyller denne ulikheten, så D_f = ⟨ − 2/3, → ⟩.

Regn ut definisjonsmengden til $\sqrt{2x+8}$.

Under rottegnet kan det ikke stå et negativt tall, så vi løser ulikheten 2x + 8 ≥ 0, og får resultatet:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Altså er D_f = [−4, → ⟩.

Regn ut definisjonsmengden til 1/x².

I nevneren kan det ikke stå null, så vi løser likningen x² ≠ 0. Det gjelder når x ≠ 0, så D_f = ℝ ∖ {0}.

Oppdeling av sammensatte funksjoner

For sammensatte funksjoner er situasjonen litt mer komplisert, for vi må ta hensyn til flere funksjoner som påvirker hverandre og gradvis gjør definisjonsmengden mindre. Ta for eksempel dette:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Her må to betingelser gjelde. Uttrykket under rottegnet må være større enn eller lik null, det kan ikke være negativt. Derfor x ≥ 0. Men kvadratroten står i nevneren i brøken, så roten kan ikke bli null, for da ville brøken igjen ikke gi mening. Vi skjerper derfor det forrige utsagnet til x > 0.

På tilsvarende måte går vi fram i andre eksempler. Det viktige er å bestemme rekkefølgen på de nøstede funksjonene. Vi må finne ut hvilken funksjon som er den indre og hvilken som er den ytre. I det forrige eksempelet var det tydelig: den indre funksjonen var kvadratroten, og den ytre var brøken. Hvis vi skulle regnet ut uttrykket for hånd, ville vi først tatt kvadratroten av argumentet x og så regnet ut brøken. Det er en ganske god huskeregel: den innerste funksjonen er den du ville begynt å regne med hvis du regnet for hånd. Et nytt eksempel:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\text{tan}(x)){)}^3}$$

Nå kan vi velge motsatt tilnærming og lete etter de ytre funksjonene. Den ytre funksjonen «pakker inn» de indre funksjonene. Her pakker helt tydelig femteroten inn alle de andre funksjonene. Videre pakker tredje potens inn resultatet av logaritmen, logaritmen pakker inn tangens, og tangens pakker til slutt inn variabelen x. Enkelt. Med den første metoden kan vi gjøre det slik: når vi kjenner verdien av x, bruker vi den først i tangens. Det er altså den innerste funksjonen. Dette resultatet bruker vi i logaritmen, og det er altså den nest innerste funksjonen. Dette resultatet opphøyer vi så i tredje potens, og til slutt tar vi femteroten.

Del opp den sammensatte funksjonen:

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Vi begynner med den ytre funksjonen. Det er sinus. Videre kommer brøken, så logaritmen, så eksponentialfunksjonen (tenk deg denne substitusjonen: 10^a) og til slutt den lineære funksjonen 2x + 3.

Del opp den sammensatte funksjonen:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Den ytre funksjonen er eksponentialfunksjonen 2^a. Videre kommer brøken, så kvadratroten i nevneren i brøken og til slutt den lineære funksjonen 3x.

Definisjonsmengden til sammensatte funksjoner

Når du kan dele opp funksjoner i ytre og indre funksjon, er det ikke lenger noe problem å bestemme definisjonsmengden. Vi viser det rett på et eksempel:

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

Vi begynner med brøken. Der må nevneren være forskjellig fra null. Vi skriver det ned:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

Av egenskapene til funksjonen sinus vet vi at den har verdien 1 i punktet x = π/2. Siden funksjonen er periodisk, får vi mengden M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Dette er mengden av verdier som gjør at nevneren blir null. Disse x-ene kan vi ikke sette inn i funksjonen vår.

Men det er ikke alt, vi må også se på definisjonsmengden til funksjonen sinus. Den er heldigvis lik ℝ, så den begrenser oss ikke. Begrensningen kommer bare fra nevneren i brøken. Altså er D_f = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.