Szansa na wygraną w loterii (kalkulator)

W Lotto z 49 liczb losuje się sześć, a ty stawiasz sześć liczb. Główną wygraną dostajesz, gdy trafisz wszystkie sześć, mniejsze wygrane są za trzy, cztery lub pięć odgadniętych liczb. Kalkulator policzy, z jakim prawdopodobieństwem trafisz dokładnie m liczb w dowolnym losowaniu, w którym stawiasz tyle liczb, ile się losuje.

Jak to się liczy

Kalkulator liczy według wzoru

$P (m) = \frac{(\binom{k}{m}) \cdot (\binom{n - k}{k - m})}{(\binom{n}{k})}$

Tutaj n to liczba numerów w bębnie, k liczba losowanych (i jednocześnie typowanych) liczb, a m to, ile liczb chcesz trafić.

Najpierw liczymy, ile różnych szóstek może wypaść z 49 liczb. Kolejność losowania nie ma znaczenia, więc chodzi o kombinacje:

$(\binom{49}{6}) = 13 983 816$

Wszystkie sześć liczb trafisz tylko na jeden sposób, a mianowicie gdy zakład to dokładnie wylosowana szóstka. Szansa na główną wygraną wynosi więc 1:13 983 816, czyli około 0,00000715%.

Przy mniejszej liczbie trafionych liczb trzeba policzyć też, na ile sposobów można wybrać liczby nietrafione. Dla trzech trafionych wybieramy trzy z sześciu wylosowanych i trzy z 43 niewylosowanych:

$P (3) = \frac{(\binom{6}{3}) \cdot (\binom{43}{3})}{(\binom{49}{6})} = \frac{20 \cdot 12 341}{13 983 816} = \frac{246 820}{13 983 816} \approx 0,017 7$

Trzy liczby trafisz mniej więcej w jednym losowaniu na 57. Dla czterech liczb szansa wynosi około 1:1032, a dla pięciu 1:54 201. Niektóre loterie mają dodatkową liczbę, która rozstrzyga o drugim rzędzie wygranych; tego kalkulator nie liczy. Jak to wygląda w loterii z dwoma bębnami, znajdziesz w artykule o Eurojackpocie.

Rozdziały: Symbol Newtona, Wariacje z powtórzeniami, Permutacje z powtórzeniami, Kombinacje z powtórzeniami, Szansa na wygraną w loterii, Paradoks urodzin, Prawdopodobieństwo, że coś nastąpi co najmniej raz, Rozkład dwumianowy