Divisão de números
A divisão de números é o processo inverso da multiplicação de números. Além disso, a divisão é uma boa fonte de humor, porque, como todo mundo sabe, não podemos dividir por zero, senão nosso caderno pegaria fogo.
O que é a divisão de números
Podemos imaginar a divisão como a repartição de um todo grande em pedaços menores, todos do mesmo tamanho. Podemos ter um pai que precisa serrar uma tábua de 100 cm de comprimento em cinco partes iguais. Qual será o tamanho de cada parte?
Podemos proceder ao contrário: se somarmos os comprimentos de todas as cinco partes serradas, tem de dar de volta o número 100. Que número satisfaz isso? É o número 20, porque 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. Em vez da adição, podemos usar também a multiplicação. Podemos perguntar: que número, multiplicado por cinco, dá cem? De novo o número 20, porque 5 · 20 = 100.
Graficamente, poderíamos representar isso como a divisão de um segmento de comprimento 100 em cinco partes de mesmo comprimento:
Quando queremos dividir o número 100 pelo número 5, estamos descobrindo “quantas vezes o cinco cabe no cem”. Escrevemos a divisão com a barra: 100 / 5 ou com os dois-pontos: 100 : 5. O resultado da divisão de dois números é o quociente. Nos nossos exemplos, o número 20 é o quociente dos números 100 e 5. O número da esquerda se chama dividendo, o da direita, divisor. Também podemos escrever a divisão por meio de uma fração: em vez de 100 / 5 podemos escrever
- a se chama dividendo,
- b se chama divisor,
- c se chama quociente.
Definição por meio da multiplicação
O quociente pode ser definido da maneira mais simples por meio da multiplicação. Como exemplo, tomemos o quociente destes números: 35 / 7. Qual será o resultado? Procuramos o número que, multiplicado por 7, dá o número 35. Se dividíssemos 48 / 8, procuraríamos o número que, multiplicado por 8, daria o número 48.
O resultado de 35 / 7 é, portanto, o número 5, porque 7 · 5 = 35. O resultado de 48 / 8 é o número 6, porque 8 · 6 = 48.
Em geral, se dividimos a / b, o resultado é o número c para o qual vale b · c = a.
Embora tenhamos mostrado todos os exemplos com números naturais, graças à definição por meio da multiplicação podemos dividir também quaisquer outros números. Podemos, por exemplo, encontrar o quociente −85,76 / 6,7 procurando o número x para o qual vale 6,7 · x = −85,76. Isso vale para x = −12,8.
Podemos dividir o zero por outro número
Podemos dividir o zero por algum número; esta é uma expressão válida: 0 / 15. Basicamente, estamos dizendo que queremos repartir o zero em 15 partes iguais. Podemos imaginar que não temos nenhuma torta e que essa torta que não temos queremos repartir em 15 partes: qual será o tamanho de cada parte? Serão nulas, porque simplesmente não temos torta nenhuma. Ou imagine que você tem zero reais na carteira e quer repartir esses zero reais entre três crianças. Quanto cada criança recebe? Não recebe nada, porque você simplesmente não tem nada. Por isso 0 / 15 = 0.
Podemos dividir o zero por outro número, mas não podemos dividir outro número por zero. Esta expressão é inválida: 8 / 0.
Mas por que não podemos dividir por zero?
Não podemos dividir por zero porque a regra mais antiga da matemática nos proíbe.
Mas existem também motivos mais convincentes. Por enquanto vamos nos interessar pelo caso em que o dividendo é diferente de zero: a divisão tem a forma a / 0, em que a ≠ 0. Vamos listar dois motivos:
- Vamos ficar na analogia com a repartição de um todo em partes menores, todas do mesmo tamanho. Temos 15 figurinhas, as mais raras de todas. Agora queremos repartir essas figurinhas entre zero crianças. Quantas figurinhas cada criança recebe?
Hã???
Sim, você está lendo o enunciado corretamente, e sim, ele não faz sentido. Não podemos perguntar quantas figurinhas cada criança recebeu se não tínhamos nenhuma criança a quem dá-las. Por isso a divisão por zero também não faz sentido, e dizemos que a expressão x / 0 é indefinida.
- Introduzimos a divisão por meio da multiplicação. Quando tentamos dividir por zero, 15 / 0, procuramos um número x para o qual vale x · 0 = 15. Só que qualquer número vezes zero é zero, e nunca encontraremos um x para o qual essa equação faça sentido.
E o quociente 0/0?
Esse é indefinido assim como x / 0. Os motivos:
Desta vez temos zero figurinhas, as mais raras de todas, que queremos repartir entre zero crianças. Isso é, de novo, um pedido sem sentido.
Pela definição de divisão, quando dividimos 0 / 0, procuramos o número x para o qual vale x · 0 = 0. Encontraríamos solução, ou melhor: qualquer número real é solução dessa equação. Seja qual for o valor que substituirmos no lugar de x, 4, 1 ou π, a equação será satisfeita. Naturalmente, é inadmissível que o resultado da divisão seja todo o conjunto dos números reais, isso não faz sentido.
Teríamos de escolher um número específico de todo o conjunto e dizer que justamente esse número é o resultado da divisão 0 / 0. Só que qual? Deveria ser igual a um? A oito? A zero? A menos um? E por quê? Vamos tentar apresentar argumentos para o zero e para o um:
- Sabemos que, se temos uma fração da forma x / x, essa fração é igual a um. Por exemplo, 7 / 7 = 1 ou 3 / 3 = 1. Daí poderíamos deduzir que 0 / 0 deveria ser definido de modo que valesse 0 / 0 = 1.
- Vejamos esta sequência de frações certamente válidas. Em cada uma delas vamos dividir o zero por um número que se aproxima cada vez mais de zero:
Vemos que, por mais próximo de zero que seja o número pelo qual dividimos, continuamos obtendo zero como resultado do quociente. Disso poderíamos deduzir que 0 / 0 = 0.
Esses são dois argumentos válidos para definir o quociente 0 / 0. Só que qual deles é melhor? No fim das contas, mesmo que escolhêssemos um deles e o declarássemos o único válido, ainda assim chegaríamos a uma contradição com outras partes da matemática.
Por isso a divisão por zero é deixada como indefinida.
O argumento final contra a divisão por zero
Se os argumentos anteriores não bastaram para você, talvez você se convença com a seguinte documentação fotográfica de um caso em que alguém realmente tentou dividir por zero:
