Adição, subtração, multiplicação e divisão de frações

Com uma fração podemos escrever qualquer número racional. A fração é composta de duas partes. A parte de cima se chama numerador e a de baixo, denominador. Existe também a fração complexa, que nada mais é do que uma fração que tem outra fração no numerador ou no denominador. E, aliás, todos os sinais entre frações (mais, menos, igual etc.) se escrevem sempre na altura do traço de fração, e não na altura do numerador nem na do denominador. E, a propósito, você sabia que cinco em cada quatro pessoas têm problemas com frações?

Informações básicas

A fração tem a seguinte forma:

$$\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}$$

Um exemplo de fração pode ser a fração

$$\frac{2}{5},$$

ou seja, dois quintos. O denominador se chama assim porque ele dá nome à fração. Quinto, terço, sexto… esse é o nome principal da fração e vem do número que está embaixo do traço de fração. O numerador, por sua vez, indica a quantidade; no exemplo anterior eram dois quintos. Isso é tudo sobre os nomes.

No numerador e no denominador pode haver, basicamente, qualquer número ou, de novo, uma fração, mas o caso mais comum é o da fração em que tanto o numerador quanto o denominador são números naturais.

A fração é apenas uma divisão escrita de outra forma; calculamos o valor da fração dividindo o numerador pelo denominador. Assim, em geral, se temos a fração $\frac{a}{b}$, o valor da fração é o número a/b. A fração anterior (dois quintos) teria, então, o valor 2/5, que é 0,4.

Conversão para a fração irredutível

Com as frações podemos fazer várias coisas e mudar sua forma (ampliá-las e simplificá-las), sem que o valor da fração mude de modo algum. Isso também é fácil de imaginar com palavras: por exemplo, um meio tem o mesmo valor que dois quartos ou quatro oitavos. Isso vem do fato de que a fração é apenas uma divisão disfarçada. E ao número um meio podemos chegar dividindo vários números diferentes. Assim, quatro dividido por oito é um meio. Dez dividido por vinte também é um meio. Por isso as frações

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

têm o mesmo valor.

Como se vê, chegamos às outras frações com o mesmo valor multiplicando por dois tanto o numerador quanto o denominador da fração original 1/2. Depois de multiplicar, saiu a fração 2/4, dois quartos. Se também nessa fração multiplicarmos o numerador e o denominador por dois, obtemos a fração 4/8, quatro oitavos. Nesse momento estávamos ampliando a fração.

A operação inversa da ampliação é a simplificação de frações, em que dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número. Se queremos simplificar uma fração, precisamos encontrar um número pelo qual tanto o numerador quanto o denominador sejam divisíveis sem resto. A simplificação de frações é muito usada na prática, porque, ao simplificar, a fração fica bem mais simples e é mais fácil trabalhar com ela. Se tivéssemos a fração 12/18, com uma olhada rápida vemos que os dois números são pares, portanto divisíveis por dois. Claro que poderíamos simplificar a fração por dois, mas, com uma segunda olhada, vemos que o numerador e o denominador também são divisíveis por seis. Se simplificarmos a fração por seis, surge uma fração mais simples do que se simplificássemos apenas por dois. Por isso simplificamos a fração por seis. Obtemos a fração 2/3.

Essa fração já não pode ser simplificada mais, não existe um número (maior que um) pelo qual possamos dividir sem resto tanto o numerador quanto o denominador. Uma fração que já não pode ser simplificada mais é chamada de fração irredutível. Procure sempre trabalhar com frações irredutíveis: sempre que for trabalhar com frações, veja primeiro se alguma delas pode ser simplificada. Você vai economizar tempo. Mais um exemplo:

$$\frac{24}{42}$$

Por qual número 24 e 42 são divisíveis ao mesmo tempo? Os dois são pares, então com certeza por dois. Dividimos o numerador e o denominador por dois:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Existe algum número que divide os dois números ao mesmo tempo? Sim, desta vez o três.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Ainda existe algum número que divide o numerador e o denominador? Não existe, a fração é irredutível.

Multiplicação de frações

Talvez você se surpreenda, mas a multiplicação e a divisão de frações são mais simples do que a adição e a subtração. Se você precisa multiplicar duas frações, simplesmente multiplica o numerador da primeira fração pelo numerador da segunda e o denominador pelo denominador. É só isso. Exemplo de multiplicação de frações:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

Na multiplicação de frações existe, além disso, outro modo de simplificar. Você não precisa simplificar apenas dentro de uma mesma fração, mas pode simplificar em cruz. Se o numerador da primeira fração pode ser simplificado com o denominador da segunda, você pode fazer isso e facilitar a multiplicação. Exemplo (os números simplificados estão destacados):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

O que fizemos? Dividimos o quatro e o oito por quatro. O valor do produto continuou o mesmo. Se não tivéssemos simplificado agora, poderíamos simplificar só depois de multiplicar.

A multiplicação de uma fração por um número inteiro você transforma facilmente na multiplicação de duas frações, escrevendo o número inteiro c como c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Como se vê, se você multiplica uma fração por um número inteiro, basta multiplicar o numerador da fração por esse número.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Divisão de frações

A divisão de frações é praticamente igual à multiplicação. Se você quer dividir uma fração por outra, inverte a segunda fração (o divisor) e multiplica as frações normalmente. Um exemplo simples de divisão de frações (note que, depois de inverter a fração, podemos simplificar 12 e 6):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Transformamos a divisão em multiplicação invertendo a fração $\frac{6}{11}$, que virou $\frac{11}{6}$, e multiplicando-a pela outra fração, que não mudou. Por que isso funciona? Basta imaginar num exemplo mais simples, por exemplo a divisão por um meio. Se dividimos

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

o que na verdade estamos fazendo? Descobrindo quantas vezes um meio cabe em dez. Em cada unidade, o meio cabe exatamente duas vezes (duas vezes um meio é um), então em dez cabe vinte vezes. Chegamos ao mesmo resultado se multiplicarmos dois vezes dez, que também dá vinte. E que valor obtemos ao inverter um meio? Dois inteiros, ou seja, dois.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

No resultado temos, portanto:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Adição de frações

A adição de frações já costuma ser um pouco mais complicada. Isso porque só podemos somar frações que tenham o mesmo denominador. Se as frações não têm o mesmo denominador, precisamos convertê-las para o mesmo denominador. Depois procedemos de maneira simples, como na multiplicação: somamos o numerador da primeira fração ao numerador da segunda. Mas, ao contrário da multiplicação, mantemos o mesmo denominador. Primeiro, um exemplo de adição de frações com o mesmo denominador:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Faz sentido? Um meio mais cinco meios é igual a seis meios, e isso faz bastante sentido.

Se as frações não têm o mesmo denominador, o que é o caso mais comum, precisamos reduzi-las ao mesmo denominador, o que significa ampliar uma das frações ou as duas de modo a obter o mesmo denominador. Queremos somar estas duas frações:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

A primeira fração tem o três no denominador, a segunda, o dois. Assim, é difícil somá-las, mas, se ampliarmos a primeira fração por dois, ela terá o seis no denominador, e, se ampliarmos a segunda fração por três, ela também terá o seis no denominador. Agora as duas frações já têm o mesmo denominador e podemos somá-las facilmente. Então, no primeiro passo, ampliamos as frações de modo que tenham o mesmo denominador:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

E agora é só somar os numeradores e manter o mesmo denominador:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Atenção: na adição não podemos simplificar entre frações diferentes, como na multiplicação. Por exemplo, depois da transformação tínhamos o seis no denominador da primeira fração e o quinze no numerador da segunda. Mesmo assim, não podemos simplificar por três:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Essa simplificação só poderíamos nos permitir se estivéssemos multiplicando essas frações:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Como converter, em geral, duas frações para um denominador comum? Ampliamos a primeira fração pelo denominador da segunda e ampliamos a segunda fração pelo denominador da primeira. Em geral podemos escrever isso assim:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Ampliamos a primeira fração pela expressão d, que é o denominador da segunda fração. Ampliamos a segunda fração pela expressão b, que é o denominador da primeira fração. Um exemplo concreto:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Ampliamos a primeira fração por oito e a segunda por quatro. Feito isso, já podemos somar as frações.

A fórmula geral para a adição de frações ficaria assim:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Subtração de frações

A subtração de frações acontece exatamente como a adição de frações, só que os numeradores resultantes não são somados, e sim subtraídos. Então a fórmula geral anterior da adição fica assim:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Um exemplo concreto; primeiro convertemos para o denominador comum:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

E agora é só subtrair os numeradores, mantendo os denominadores iguais:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Multiplicação cruzada

No caso das equações, podemos usar a multiplicação cruzada, que simplifica a igualdade de duas frações. Na prática, não se trata de nada além de duas transformações equivalentes da equação dada. Então, tomemos uma equação com duas frações

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Podemos transformar essa equação multiplicando-a pelo denominador da primeira fração e depois também pelo da segunda. Primeiro multiplicamos a equação pelo denominador da primeira fração, isto é, pela expressão b. Obtemos

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

Depois multiplicamos a equação pela expressão d e obtemos

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

Na primeira fração simplificamos o b e na segunda o d. O resultado é a equação

$$ad=bc.$$

Isso pode, então, ser considerado uma fórmula: se temos uma equação na forma de duas frações, podemos transformá-la da seguinte maneira:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Segue um exemplo. No primeiro passo escrevemos as frações segundo a fórmula anterior e, no segundo passo, apenas simplificamos de leve as expressões dos dois lados.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

Depois, a equação seria resolvida como uma equação do 2º grau clássica, mas isso já está fora do assunto deste artigo.

Temas relacionados

As frações costumam aparecer com frequência na simplificação de expressões, e disso trata o artigo sobre frações algébricas. Em especial, existe um algoritmo para a divisão de polinômio por polinômio.