Adição e subtração
A adição e a subtração são as operações matemáticas mais básicas, e precisamos delas até no dia a dia. Embora seja possível somar muitas estruturas diferentes, aqui vamos tratar apenas da adição de números inteiros.
Adição
A operação de adição é indicada pelo sinal de mais +. Na adição, somamos parcelas: se queremos calcular 2 + 3, tanto o dois quanto o três se chamam parcelas. O resultado é a soma, ou seja, o cinco na expressão 2 + 3 = 5 é a soma.
Podemos somar praticamente quaisquer números, sejam naturais, como 1, 5, 157, ou negativos, como -4, -74. Também podemos somar números racionais, ou seja, frações, números reais, como π, e por fim até números complexos. Podemos somar ainda outras estruturas: matrizes ou vetores.
A adição costuma ser explicada com um monte de maçãs: se você tem três maçãs na cesta e alguém lhe dá mais quatro, quantas você terá? Você terá 3 + 4 = 7.
Como somar números grandes
Se eu lhe pedisse para somar 17.564 e 3.272, você provavelmente não diria o resultado de cabeça. Por isso usamos uma calculadora ou lápis e papel. Não vou ensinar você a digitar isso na calculadora; vamos nos concentrar no procedimento no papel.
Escrevemos os números que queremos somar um embaixo do outro e os alinhamos à direita, de modo que as mesmas ordens (dezenas, centenas, …) fiquem uma embaixo da outra. Embaixo dos dois números traçamos uma linha horizontal. Ficaria assim:
Agora vamos somar os números que estão um embaixo do outro. Se a soma dos números for menor que dez, basta escrever essa soma embaixo da linha. Começamos pelo lado direito, pela menor ordem. Então primeiro somamos 4 + 2, que é igual a seis. O seis é menor que dez, então escrevemos o número seis embaixo da linha:
Continuamos, somando 6 + 7. Isso é igual a 13, que já é maior que dez. Agora escrevemos embaixo da linha apenas o algarismo da posição das unidades, isto é, escrevemos o três (tiramos uma dezena do treze).
O que aconteceu com aquele um que deixamos de lado? E o que ele representa? Neste momento estamos trabalhando com a segunda coluna da direita para a esquerda, que no número representa as dezenas. Na verdade, estávamos somando dezenas, ou seja, calculamos 60 + 70 = 130. Decidimos guardar o número 30 e deixamos os 100 para depois. Para quando? Para o passo seguinte, para a próxima coluna. No próximo passo chegamos à soma dos algarismos que correspondem às centenas. E temos uma centena a mais, que obtivemos ao somar as dezenas. Então nada mais simples do que acrescentar essa centena no próximo passo da soma.
Assim, em vez de somar 5 + 2 no passo seguinte, vamos somar 5 + 2 + 1, em que esse um representa a centena que obtivemos na soma do passo anterior. O resultado total é oito, que é menor que dez. Escrevemos então o oito embaixo da linha.
Para o passo seguinte não vem nenhuma unidade de milhar a mais, então somamos apenas 7 + 3 = 10. Esse número não é menor que dez, então embaixo da linha escrevemos o último algarismo e o um vai para o passo seguinte. Escrevemos, portanto, o zero embaixo da linha e guardamos para o próximo passo uma dezena de milhar a mais.
Na última coluna já temos um algarismo apenas na primeira linha. Na segunda linha imaginamos um zero e somamos 1 + 0, sem esquecer de somar o um do passo anterior: 1 + 0 + 1 = 2. Escrevemos o dois embaixo da linha.
Assim o algoritmo termina e temos a soma dos números 17564 + 3272.
Animação do processo de adição no papel
Nos campos a seguir você pode digitar dois números naturais e depois é só se divertir com a animação de todo o procedimento.
Representação gráfica da adição
Podemos representar a adição graficamente na reta numérica. A reta numérica é uma reta na qual estão marcados todos os números. Pode ser assim:
Se quisermos ilustrar nessa reta numérica a adição de dois números, por exemplo 3+4, faríamos o seguinte: desenharíamos um segmento que começaria na origem, isto é, no zero, e terminaria no três. Na adição, orientamos o segmento para a direita do ponto onde começamos. Assim:
Agora marcamos o quatro na reta numérica. Só que desta vez começamos no três e a partir daí traçamos para a direita um segmento de comprimento quatro. Assim:
O ponto onde o segundo segmento, o verde, terminou representa o resultado final: 3 + 4 = 7.
Subtração
A subtração é a operação inversa da adição. Se você somar um número b a um número a e depois subtrair o número b, obtém de volta o número a. Vamos mostrar o procedimento com o exemplo 158.748 − 99.575. Assim como na adição, escrevemos esses números um embaixo do outro:
Embaixo da linha vamos escrever o resultado, como na adição. Seguimos da direita para a esquerda, das menores ordens. Primeiro vamos calcular as unidades. Se o número de cima não é menor que o de baixo, escrevemos embaixo da linha a diferença número de cima − número de baixo. (Ou ao contrário: se o número de baixo é menor ou igual, podemos subtrair sem receio.) Na posição das unidades o número de cima não é menor, então escrevemos a diferença 8 − 5 = 3.
Passamos uma casa para a esquerda, estamos na posição das dezenas. Aqui o número de cima já é menor que o de baixo. Agora somamos uma dezena ao número de cima e fazemos o mesmo cálculo: número de cima + 10 − número de baixo. O resultado será 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
Na subtração das dezenas, nós nos ajudamos acrescentando ali dez dezenas, então precisamos lembrar disso no passo seguinte. Dez dezenas formam uma centena, portanto no próximo passo subtraímos uma centena a mais. Isso significa que ao cinco de baixo somamos o um do passo anterior.
Na posição das centenas, verificamos então se o sete (número de cima) é menor que o seis (número de baixo + 1). Não é, então podemos fazer a diferença normal: de cima menos de baixo. Mesmo assim, na diferença também precisamos somar o um ao número de baixo, portanto no resultado temos 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
Para o próximo passo não levamos nada, neste passo não precisamos “pedir emprestado” nenhuma ordem maior. Na posição das unidades de milhar, portanto, não somamos nada a nada. No entanto, o oito do número de cima é menor que o nove do número de baixo, então teremos de somar uma dezena ao número de cima. Obtemos assim a diferença 8 + 10 − 9 = 9.
Para o próximo passo levamos o um, que somamos ao número de baixo. Nove mais um é dez, e o cinco de cima é menor que dez. Somamos dez ao número de cima e fazemos a diferença: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
De novo nos ajudamos com uma ordem maior, então levamos o um para o passo seguinte. Ali falta um número na parte de baixo, então supomos um zero. Quando somamos o um, obtemos o resultado um. O número de cima não é menor que o de baixo (agora o de cima é igual ao de baixo), então podemos simplesmente subtrair: 1 − 1 = 0.
E temos o resultado. O zero do início pode ser retirado, e escrevemos: 158.748 − 99.575 = 59.173.
Representação gráfica da subtração
A subtração, assim como a adição, também pode ser representada na reta numérica. Só que, ao marcar o segmento, mudamos o seu sentido. Não marcamos o segmento para a direita do ponto atual, mas para a esquerda. Então, se tivéssemos de calcular 2 − 5, faríamos o seguinte. Primeiro marcaríamos na reta numérica o dois, no sentido positivo, porque o dois é positivo. Estamos subtraindo o cinco, que ficará no sentido contrário.
Agora marcamos na reta o segundo segmento, que representará menos cinco. Começamos no ponto onde terminamos, isto é, no dois. Só que desta vez traçamos o segmento para trás, para a esquerda.
