Domínio de uma função

O domínio de uma função são todos os valores admissíveis que podemos substituir, na função f(x), no lugar do argumento x de modo que a função faça sentido.

O que é o domínio de uma função

Um exemplo simples pode ser a função f(x) = 1/x. O domínio é o conjunto de todos os valores admissíveis que, quando os substituímos na função 1/x, nos dão uma expressão válida.

Para saber o que é uma “expressão válida”, precisamos conhecer as propriedades das funções e das operações. Na nossa função dividimos pela variável x, a variável x está no denominador da fração. Por quais valores podemos dividir? Por todos, exceto o zero. Não sabemos dividir por zero, e do mesmo modo o zero não pode estar no denominador de uma fração. A divisão não tem outra restrição.

Por isso podemos substituir x por qualquer número real, exceto o zero. O domínio é, portanto, igual a: D(f) = ℝ ∖ {0}. O domínio costuma ser escrito com a letra D e, entre parênteses, escrevemos a função cujo domínio estamos calculando.

Neste momento calculamos o maior domínio. Mas, como definimos o domínio como o conjunto de valores que podemos substituir no lugar de x, vale que qualquer subconjunto do domínio também será de novo um domínio. Às vezes pode ser útil restringir a função a apenas alguns x. Por exemplo, nas sequências nos restringimos apenas aos números naturais; na trigonometria muitas vezes se calcula apenas com o intervalo [0, 2π].

De todo modo, se tivermos um exercício em que se pede para calcular o domínio de uma função, em geral se supõe que você deve calcular o maior domínio possível.

O domínio também pode ser lido no gráfico da função. Como exemplo, vamos pegar o gráfico da função anterior, f(x) = 1/x.

Se você projetar o gráfico sobre o eixo x, obtém o domínio. Se o ponto x não é elemento do domínio, então, ao traçar nesse ponto uma perpendicular vertical ao eixo x, essa reta não corta nenhum ponto do gráfico. Vemos que essa condição é cumprida apenas pelo zero — ele não tem “acima nem abaixo de si” nenhum ponto do gráfico da função. Todos os outros têm.

Cálculo do domínio

Para calcular o domínio de uma função composta, você precisa conhecer os domínios de todas as funções que formam a função composta. Senão não dá. Se eu pedisse para você calcular o domínio da função f(x) = um(x) + dois(x), você não chegaria a lugar nenhum, porque não sabe como as funções um e dois são definidas. Vamos mostrar os domínios de algumas funções elementares:

• O logaritmo tem D(f) = ]0, +∞[.
• A raiz quadrada tem D(f) = [0, +∞[.
• A tangente tem D(f) = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• A cotangente tem D(f) = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• A função exponencial tem D(f) = ℝ.
• A função afim e a função quadrática têm D(f) = ℝ.

Se temos dada apenas uma função, é bem simples. Basta descobrir qual é o domínio dessa função, olhar o argumento e então substituir adequadamente na (in)equação. Então, um exemplo — determine o domínio da função log(3x + 2). O argumento do logaritmo precisa ser positivo, por isso deve valer 3x + 2 > 0. Essa é uma inequação do 1º grau, que resolvemos facilmente:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

O domínio são todos os x que satisfazem essa inequação, então D(f) = ]−2/3, +∞[.

Calcule o domínio de $\sqrt{2x+8}$.

Debaixo da raiz não pode haver número negativo, então resolvemos a inequação 2x + 8 ≥ 0, obtendo o resultado:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Então D(f) = [−4, +∞[.

Calcule o domínio de 1/x².

No denominador não pode haver zero, então resolvemos a equação x² ≠ 0. Isso vale quando x ≠ 0, então D(f) = ℝ ∖ {0}.

Decomposição de funções compostas

Nas funções compostas a situação já é um pouco mais complicada, porque precisamos levar em conta várias funções que se influenciam mutuamente e vão reduzindo, uma a uma, o seu domínio. Vejamos, por exemplo, este caso:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Aqui precisam valer duas condições. A expressão debaixo da raiz deve ser maior ou igual a zero, não pode ser negativa. Portanto x ≥ 0. Só que a raiz está no denominador da fração, então precisa valer que essa raiz não pode dar zero, senão a fração de novo não faria sentido. Assim, reforçamos a afirmação anterior para x > 0.

Procederemos de modo semelhante nos outros exemplos. O importante, porém, é determinar a ordem das funções aninhadas –- precisamos descobrir qual função é a interna e qual é a externa. No exemplo anterior isso era evidente -– a função interna era a raiz e a externa, a fração. Se quiséssemos calcular essa expressão à mão, primeiro extrairíamos a raiz do argumento x e só depois calcularíamos a fração. Essa é uma dica bastante boa -– a função mais interna é aquela com a qual você começaria a calcular se fizesse as contas à mão. Outro exemplo:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\mathrm{tg}(x)){)}^3}$$

Agora podemos escolher a abordagem contrária. Vamos procurar as funções externas. A função externa “envolve” as funções internas. Aqui, claramente, a raiz quinta envolve todas as funções restantes. Além disso, a terceira potência envolve o resultado do logaritmo, o logaritmo envolve a tangente e, por fim, a tangente envolve a variável x. Simples. Com o método anterior, podemos pensar assim: quando conhecemos o valor de x, primeiro o aplicamos à tangente. Ela é, portanto, a função mais interna. Aplicamos esse resultado ao logaritmo -– ele é, portanto, a segunda função mais interna. Esse resultado aplicamos de novo à potência e, no fim, extraímos a raiz.

Decomponha a função composta:

$$f(x)=\mathrm{sen}\frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Começamos pela função externa. Ela é o seno. Depois, na ordem, vem a fração, depois o logaritmo, depois a função exponencial (imagine esta substituição: 10^a) e, por fim, a função afim 2x + 3.

Decomponha a função composta:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

A função externa é a função exponencial 2^a. Depois vem a fração e, no denominador da fração, a raiz e, por fim, a função afim 3x.

Domínio de funções compostas

Se você sabe decompor funções em externas e internas, já não pode haver nenhum problema em determinar o domínio. Vamos mostrar isso diretamente em um exemplo:

$$f(x)=\frac{47}{\mathrm{sen}(x)-1}$$

Começamos pela fração. Nela, o denominador precisa ser diferente de zero. Escrevemos:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}(x)-1& \ne & 0\\ \mathrm{sen}(x)& \ne & +1\end{array}$$

Pelas propriedades da função seno, sabemos que ela atinge o valor 1 no ponto x = π/2. Como é uma função periódica, obtemos o conjunto M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Esse é o conjunto de valores para os quais o denominador dá zero. Esses x não podemos substituir na nossa função.

Mas isso não é tudo, ainda precisamos olhar para o domínio da função seno. Esse, felizmente, é igual a ℝ, então não nos restringe de modo algum. A restrição vem apenas do denominador da fração. Portanto D(f) = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.