O que é uma função

Função é um conceito fundamental da matemática, e você deveria entendê-lo por completo. A matemática é cheia de funções, e muitos símbolos que você conhece desde o ensino fundamental, na verdade, representam uma função.

Analogia da função

Você já viu uma máquina de café? O que é típico nessa máquina? Você coloca algumas moedas e ela entrega um café. Se você colocar mais moedas, a máquina responde com um café melhor.

A função é uma espécie de máquina de café matemática. Você coloca na função uma entrada (as moedas) e a função devolve uma saída (o café). Esse é todo o princípio básico da função.

A tarefa da função é receber uma entrada, um número, fazer alguma coisa com esse número lá dentro, transformá-lo e depois devolver o novo número na saída.

Conceitos básicos

Toda função tem um nome que a identifica. O nome mais comum para uma função é a letra “f”. Para a função precisamos de uma regra que determine como ela deve trabalhar — como a máquina deve preparar o café. Para começar, podemos imaginar a função como uma tabela com duas colunas. Na primeira coluna fica a nossa entrada (na máquina, o valor das moedas) e na segunda, a saída da função (o café).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{entrada}& \text{saída}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Vemos que a saída é sempre o dobro da entrada, mas isso não precisa ser uma regra. Podemos ter também uma tabela como esta:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{entrada}& \text{saída}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

De todo modo, para começar nos basta a primeira tabela, a regular. Podemos dizer que essa tabela define uma função f. O que a função faz? Colocamos uma entrada na função, ela procura essa entrada na primeira coluna da tabela e devolve a saída que está na mesma linha. Se procuramos a saída da função para o número três, escreveríamos assim:

$$f(3)=6$$

Encontramos a linha em que a entrada é igual a três e, nessa mesma linha, a saída era igual a seis. Além disso, valeria f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 e f(5) = 10. Escrever todas as funções com tabelas pode até parecer organizado para alguns poucos números, mas, se trabalhamos com mais números, isso é extremamente pouco prático. Por isso precisamos de outra forma de escrita. Podemos defini-la por uma lei de formação. Na nossa tabela, a saída era o dobro da entrada. Com uma lei de formação, escreveríamos isso assim:

$$f(x)=2\cdot x$$

Essa é uma função afim simples, mas isso não importa por enquanto. O que essa expressão nos diz? A letra f indica o nome da função, isso já sabemos. A expressão entre parênteses, ou seja, a letra x, indica o parâmetro da função. Na analogia com a máquina, seria o “valor das moedas colocadas”. O parâmetro da função é uma variável na qual é guardado o valor que passamos. Se colocássemos vinte reais na máquina (função), valeria dentro da função que x = 20. E, daí em diante, a máquina ou a função vai trabalhar com esse valor à sua maneira.

Depois vem o sinal de igualdade e, depois dele, a própria regra, que especifica o que deve ser feito com o valor de x. Vemos que a função multiplica o valor recebido x por dois. Só isso.

Mais exemplos de funções

Nesse lado direito pode haver praticamente qualquer expressão matemática. Podem estar ali outras funções e também condições que tornam a definição mais precisa. Poderíamos definir uma função com palavras, por exemplo, assim: “se a entrada for um número par, devolva zero; se a entrada for um número ímpar, devolva um”. Essa será uma função que devolve apenas um e zero, mas não deixa de ser uma função.

O importante é entender que uma função pode ser definida de quase qualquer jeito. É claro que a função também tem suas regras, mas elas não são tão importantes agora — além disso, uma delas é mencionada logo no próximo capítulo. A definição de uma função não precisa fazer sentido à primeira vista, não precisa ter nenhuma ordem. Uma função pode muito bem devolver sempre o dobro do valor, exceto quando a entrada é sete. Nesse caso, ela devolve nove. Provavelmente é um absurdo, mas isso também é uma função.

Podemos chamar de função também boa parte das operações que fazemos fora da matemática. Por exemplo, se você conta o comprimento da palavra “mamute”, podemos dizer que chamou uma função de nome “comprimento da palavra” e passou a ela, como argumento, a palavra “mamute”. A função contou as letras da palavra e devolveu na saída o número seis.

Precisa calcular quanto vai pagar de juros compostos em um empréstimo ou em um financiamento imobiliário? Uma função também pode cuidar disso. Basta definir uma função que calcule o valor dos juros depois de, digamos, dez anos. Precisa descobrir quantos quilômetros o carro ainda vai percorrer com certa quantidade de litros de gasolina? Defina uma função! Se o carro percorre em média, por exemplo, 11 quilômetros por litro de gasolina, a função que calcula quantos quilômetros ainda vamos percorrer pode ser definida assim:

$$percorremos(x)=11\cdot x$$

Se nos restam apenas 17 litros de gasolina, calculamos a distância chamando a função assim:

$$percorremos(17)=11\cdot 17=187$$

Função é, em resumo, tudo o que nos devolve algum número para uma entrada qualquer. Devolva a distância em linha reta de Curitiba até uma cidade qualquer, devolva a duração da música mais longa de um álbum dado, devolva o número de fios de cabelo na cabeça de uma pessoa dada, devolva o número de patas de um animal dado etc.

Propriedade fundamental da função

Uma condição extremamente importante para a função é, voltando à tabela, que nenhum valor se repita duas vezes na primeira coluna, a da entrada. Se a tabela fosse assim:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{entrada}& \text{saída}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… não conseguiríamos dizer o que a função deve devolver se colocarmos o número um nela:

$$f(1)=?$$

A função precisa estar bem definida; não pode acontecer de, para a mesma entrada, ela devolver dois resultados diferentes. Isso simplesmente não pode. Exigimos da função que, com a mesma entrada, ela sempre devolva também a mesma saída. Atenção: essa exigência não vale para a segunda coluna, a da saída. As saídas podem muito bem ser iguais, isso não nos incomoda. Esta tabela seria válida:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{entrada}& \text{saída}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Avaliação da função

Já sabemos como se chama cada parte da função e como, mais ou menos, definir uma função. Agora vamos explicar passo a passo como se faz a avaliação de uma função. Temos a função f(x) = 2x. O que acontece quando colocamos o número três na função? Colocar o três na função significa, para nós, substituir o parâmetro da função pelo número três. O argumento da função é o três, então substituímos todos os x pelo três:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Já vemos que a função devolve o seis, exatamente como a tabela há pouco. A tabela, porém, se limitava a apenas cinco números; a nossa nova definição consegue abranger também outros números:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Esse procedimento, em que substituímos a variável x por valores concretos, chama-se avaliação da função ou chamada da função, ou ainda aplicação da função. Se dissermos que “chamamos a função f com o argumento 5”, queremos calcular o valor de f(5), que no nosso caso será f(5) = 2 · 5 = 10.

Mais dois conceitos para memorizar. Aquilo com que chamamos a função (o que substituímos no lugar de x) chama-se argumento da função. Pode parecer um pouco confuso, mas, se temos a função f(x) e a chamamos com o valor três, f(3), então x é o parâmetro da função e 3 é o argumento da função. O argumento é o próprio valor com o qual chamamos a função. O parâmetro é a variável original com a qual a função é definida. É mais um detalhe técnico.

Outro conceito é o valor da função, que é o valor que a função devolve na saída. A função anterior devolveu, quando chamada com o número três, o número seis. O número seis é, portanto, nesse caso, o valor da função. Em uma frase completa, diríamos “a função f tem, no ponto três, o valor seis”. Por “ponto”, nesse contexto, costuma-se entender o argumento da função.

Funções na matemática comum

Na matemática comum aparece uma porção de funções que têm uma forma de escrita muito especial, de modo que nem parece que se trata de funções. Por exemplo, o valor absoluto nada mais é do que uma função. Na entrada ela recebe um número e na saída devolve o mesmo número ou o número com o sinal oposto.

Com certeza você reconhece o símbolo da raiz quadrada: $\sqrt{}$. Essa também é uma função. Na entrada ela recebe um argumento e na saída devolve a raiz quadrada. Da mesma forma, o quadrado x² também é uma função. Na entrada recebe um número e na saída devolve o quadrado desse número.

É bastante importante perceber que a maioria desses símbolos mágicos não é, na verdade, nada mais complicado do que uma função comum. Não olhe para o símbolo $\sqrt{}$ como para uma forma curva e estranha; olhe para ele como para uma função.

Uma expressão que contém uma porção de símbolos matemáticos pode ser confusa, principalmente para um iniciante, que fica sem saber o que fazer com metade deles, quando na verdade se trata apenas de algumas funções compostas. Vamos usar este exemplo:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Quando um leigo em matemática olha para isso, coça a cabeça e não faz ideia do que fazer. No entanto, nessa expressão estão contidas quatro funções bem simples, que são aplicadas em sequência à variável x. Poderíamos escrever isso com funções nomeadas e aninhadas assim:

$$\text{fatorial}(\text{raiz}(\text{abs}(\text{quad}(x))))$$

A escrita é mais longa, mas provavelmente mais clara para quem não se entende com os símbolos. Além disso, fica totalmente evidente a ordem em que as funções serão chamadas, uma após a outra.

Resumo da escrita de uma função

A função tem um nome, que pode ser praticamente qualquer coisa. Mais frequentemente, a função genérica é chamada de f. Toda função tem um número determinado de parâmetros, que escrevemos entre parênteses depois do nome. Se a nossa função f tivesse dois parâmetros, escreveríamos assim: f(x, y) ou f(a, b). O nome dos parâmetros, em geral, não importa.

Algumas funções muito usadas têm seu próprio símbolo; por exemplo, a raiz quadrada tem o símbolo $\sqrt{}$. Além disso, sen ou sen(x) é a função seno, |x| é a função valor absoluto e x! é a função fatorial.

Se a função tem um parâmetro, às vezes omitimos os parênteses, o que às vezes deixa a escrita mais clara e às vezes não. Assim, sen(x) e sen x são escritas válidas da função seno.

Quando se fala do parâmetro da função, fala-se da letra x na escrita f(x). O argumento é, então, o valor com o qual chamamos a função, aquele que substituímos no lugar de x. Muitas vezes esses dois conceitos se confundem. O valor da função é o valor que obtemos depois de chamá-la. Escrevemos isso simplesmente como o nome da função, os parênteses e o argumento. Se temos a função f(x) = 2x e, no lugar do parâmetro x, substituímos o argumento x = 4, dizemos que chamamos a função com o argumento x = 4 e que o valor resultante f(4) é igual a oito.