Função par e função ímpar

Nas funções podemos determinar a sua paridade, ou seja, podemos determinar se a função é par ou ímpar. No caso extremo, ela pode ser par e ímpar ao mesmo tempo, mas na maioria das vezes não é nem par nem ímpar.

Função par

A função é par se cumpre uma regra simples — quando você coloca na função o elemento x e depois o elemento oposto −x, a função precisa devolver o mesmo valor. Uma função par típica é a função f(x) = x². Se você a chama com os argumentos 6 e −6, obtém: f(6) = 36 e f(−6) = 36. O argumento diferia apenas no sinal, então o resultado é o mesmo.

A definição formal poderia ser esta. Se a função f é par, então ela precisa cumprir

$$\mathrm{\forall }x\in D(f):f(x)=f(-x)$$

Para todos os x do domínio da função precisa valer que, mesmo quando chamamos a função com o argumento oposto, isto é, −x, os valores da função devem ser iguais.

Como a função par aparece no gráfico? Se colocamos na função x e −x, obtemos o mesmo y. Então, pensando bem: x e −x estão, no eixo x, à mesma distância da origem e têm a mesma coordenada y. Isso significa que o gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. Para ilustrar, o gráfico da função x²:

Entre as funções clássicas, são pares: o cosseno e as funções da forma f(x) = x^a, em que a é um número par. De uma função originalmente ímpar, é o valor absoluto que nos faz uma função par, por exemplo f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Função ímpar

A função ímpar precisa cumprir regras semelhantes às da função par. Assim, a função f é ímpar se cumpre esta regra:

$$\mathrm{\forall }x\in D(f):f(-x)=-f(x)$$

Na prática, isso significa que, se um ponto (a, b) pertence a uma função ímpar, então a ela precisa pertencer também o ponto com as coordenadas opostas, isto é, (−a, −b). Um exemplo de função ímpar é a função f(x) = x³. Se substituímos x por dois, obtemos:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

Na segunda expressão obteríamos

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Como isso aparece no gráfico? Se à função deve pertencer o ponto (a, b) e, ao mesmo tempo, (−a, −b)? Se você desenhar, descobrirá que tal gráfico será simétrico em relação à origem do sistema de coordenadas, isto é, ao ponto (0, 0). O gráfico da função f(x) = x³ está mostrado na figura a seguir.

Entre as funções clássicas, são ímpares: f(x) = x^a, em que a é ímpar, e f(x) = ax, em que a é um número real qualquer (trata-se, portanto, de uma função linear, isto é, de uma função afim sem termo independente). Além disso, f(x) = a/x ou o seno.

Como verificar se a função é par

Como verificamos se a função é par? Precisamos fazê-lo pela definição. Então, por exemplo, a conhecida função f(x) = x². Verificamos pela definição. Ela nos diz que f(x) = f(−x). Se a função é par, precisa cumprir:

$$x^2=(-x{)}^2$$

O menos x ao quadrado podemos desenvolver, pelas regras de cálculo com potências, assim:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Menos um ao quadrado é um, então obtemos de volta apenas x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

A função a seguir é par?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Substituímos na definição:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Essas frações podemos reorganizar de modo que, em vez de termos o valor absoluto sobre a fração inteira, o passamos para o numerador e para o denominador.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Ajustamos o denominador da segunda fração, porque certamente vale |x| = |−x|, pela definição de valor absoluto.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Agora já obtemos a igualdade.

Como verificar se a função é ímpar

Como verificamos se a função é ímpar? Precisamos, de novo, fazê-lo pela definição. Ela diz que a função f é ímpar se

$$f(-x)=-f(x)$$

Comecemos com a função f(x) = x³. Substituímos na definição:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

O lado esquerdo podemos desenvolver do mesmo modo que no exemplo anterior:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Menos um ao cubo é menos um:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Então temos a igualdade:

$$-x^3=-x^3$$

A função é ímpar.

A função dada é ímpar?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Substituímos na definição:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Não há muito o que ajustar aqui; o sinal de menos da primeira fração simplesmente colocamos em evidência na frente da fração inteira, e assim obtemos a igualdade:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

A função é ímpar.

Nem par, nem ímpar

A função não precisa ser nem par nem ímpar. Provavelmente a maioria das funções é assim. Como exemplo, tomemos a função afim f(x) = x + 1. Tentamos substituir na definição de função par:

$$x+1=-x+1$$

Isolamos o x:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

a igualdade não vale para todos os x, mas só para alguns, então a função não é par. Agora vejamos se é ímpar:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Essa equação nem sequer tem solução, nunca, por isso a função não é ímpar.

Par e ímpar ao mesmo tempo

Existe uma função que seja par e ímpar ao mesmo tempo? Existe um gráfico de função que seja simétrico em relação ao eixo y e, ao mesmo tempo, em relação à origem? A resposta é que sim. Existe exatamente uma função que é par e ímpar ao mesmo tempo, e é a função constante f(x) = 0. O gráfico da função acompanha exatamente o eixo x.

Observação: na verdade existem infinitas funções assim, porque podemos definir uma função g(x) que terá a mesma lei de formação, mas será definida em outro domínio. Por exemplo, podemos ter a função g(x) = 0, que terá como domínio apenas os números naturais. Essa função difere da função f(x), que é definida sobre os números reais. De todo modo, a lei de formação será sempre a mesma.

Funções compostas

Uma situação interessante surge se temos duas funções que são ímpares ou pares e tentamos somá-las, multiplicá-las etc. Por exemplo, o resultado da soma de duas funções pares é de novo uma função par. Há muitas regras e combinações; vale a pena resumi-las em uma tabela.