Împărțirea numerelor

Împărțirea numerelor este operația inversă înmulțirii. În plus, împărțirea este o sursă bună de umor, pentru că, așa cum știe toată lumea, nu putem împărți la zero, fiindcă ne-ar lua foc caietul.

Ce este împărțirea numerelor

Ne putem imagina împărțirea ca pe desfacerea unui întreg mare în bucăți mai mici, toate egale. Să zicem că tata trebuie să taie o scândură lungă de 100 cm în cinci bucăți egale. Cât de lungă va fi fiecare bucată?

Putem proceda invers: dacă adunăm lungimile celor cinci bucăți tăiate, trebuie să obținem din nou numărul 100. Ce număr are această proprietate? Este numărul 20, pentru că 20 + 20 + 20 + 20 + 20 = 100. În loc de adunare putem folosi și înmulțirea. Ne putem întreba: ce număr, înmulțit cu cinci, dă o sută? Tot numărul 20, pentru că 5 · 20 = 100.

Grafic, am putea exprima asta ca împărțirea unui segment de lungime 100 în cinci părți de aceeași lungime:

Când vrem să împărțim numărul 100 la 5, aflăm „de câte ori se cuprinde cinci în o sută”. Împărțirea o scriem fie cu bară oblică: 100 / 5, fie cu două puncte: 100 : 5. Rezultatul împărțirii a două numere este câtul. În exemplele noastre, numărul 20 este câtul numerelor 100 și 5. Numărul din stânga se numește deîmpărțit, cel din dreapta împărțitor. Împărțirea o putem scrie și cu ajutorul unei fracții: în loc de 100 / 5 putem scrie $\frac{100}{5}$. Rezumatul denumirilor:

$$a:b=\frac{a}{b}=c$$

• a se numește deîmpărțit,
• b se numește împărțitor,
• c se numește cât.

Definiția cu ajutorul înmulțirii

Câtul îl putem defini cel mai simplu cu ajutorul înmulțirii. Să luăm ca exemplu câtul acestor numere: 35 / 7. Care va fi rezultatul? Căutăm numărul care, înmulțit cu 7, dă numărul 35. Dacă am împărți 48 / 8, am căuta numărul care, înmulțit cu 8, ar da numărul 48.

Rezultatul lui 35 / 7 este deci numărul 5, pentru că 7 · 5 = 35. Rezultatul lui 48 / 8 este numărul 6, pentru că 8 · 6 = 48.

Dacă împărțim în general a / b, rezultatul este numărul c pentru care are loc b · c = a.

Deși toate exemplele le-am arătat pe numere naturale, datorită definiției cu ajutorul înmulțirii putem împărți orice alte numere. Putem găsi, de exemplu, câtul −85,76 / 6,7 căutând numărul x pentru care 6,7 · x = −85,76. Acest lucru are loc pentru x = −12,8.

Pe zero îl putem împărți la alt număr

Pe zero îl putem împărți la un număr; aceasta este o expresie validă: 0 / 15. În esență spunem că vrem să împărțim zero în 15 părți egale. Ne putem imagina că nu avem nicio prăjitură și că vrem să împărțim această prăjitură, pe care nu o avem, în 15 părți – cât de mari vor fi părțile? Vor fi nule, pentru că pur și simplu nu avem nicio prăjitură. Sau imaginează-ți că ai în portofel zero lei și vrei să împarți acești zero lei între trei copii. Cât primește fiecare copil? Nimic, pentru că pur și simplu nu ai nimic. De aceea 0 / 15 = 0.

Putem împărți zero la alt număr, dar nu putem împărți un alt număr la zero. Această expresie nu este validă: 8 / 0.

De ce nu putem împărți la zero?

Nu putem împărți la zero pentru că ne interzice asta a unsprezecea poruncă.

Dar există și motive mai solide. Deocamdată ne interesează cazul în care deîmpărțitul este diferit de zero – împărțirea este de forma a / 0, unde a ≠ 0. Să enumerăm două motive:

1. Să rămânem la analogia cu împărțirea unui întreg în părți mai mici, egale între ele. Avem 15 pisoi, cei mai poznași din lume. Acum vrem să-i împărțim între zero copii. Câți pisoi primește fiecare copil?

Hm???

Da, ai citit bine enunțul și da, nu are sens. Nu putem întreba câți pisoi a primit fiecare copil, când nu am avut niciun copil căruia să-i dăm pisoii. De aceea nici împărțirea la zero nu are sens și de aceea spunem că expresia x / 0 este nedefinită.

2. Am introdus împărțirea cu ajutorul înmulțirii. Când încercăm să împărțim la zero 15 / 0, căutăm un număr x pentru care x · 0 = 15. Numai că orice număr înmulțit cu zero dă zero, așa că nu vom găsi niciodată un x pentru care această ecuație să aibă sens.

Dar ce putem spune despre câtul 0/0?

Acesta este nedefinit la fel ca x / 0. Motivele:

De data aceasta avem zero pisoi, cei mai poznași, pe care vrem să-i împărțim între zero copii. Aceasta este din nou o cerință fără sens.

Conform definiției împărțirii, când împărțim 0 / 0, căutăm numărul x pentru care x · 0 = 0. Am găsi soluții, sau mai exact: orice număr real este soluție a acestei ecuații. Fie că îl înlocuim pe x cu 4, cu 1 sau cu π, ecuația este satisfăcută. Bineînțeles, este inadmisibil ca rezultatul împărțirii să fie întreaga mulțime a numerelor reale, asta nu are sens.

Ar trebui să alegem din toată mulțimea un singur număr și să spunem că tocmai acesta este rezultatul împărțirii 0 / 0. Dar care? Ar trebui să fie egal cu unu? Cu opt? Cu zero? Cu minus unu? Și de ce? Să încercăm să formulăm argumente pentru zero și pentru unu:

1. Știm că dacă avem o fracție de forma x / x, atunci această fracție este egală cu unu. De exemplu 7 / 7 = 1 sau 3 / 3 = 1. De aici am putea deduce că ar trebui să definim 0 / 0 astfel încât să avem 0 / 0 = 1.
2. Să ne uităm la acest șir de fracții cu siguranță valide. În fiecare dintre ele împărțim zero la un număr care se apropie tot mai mult de zero:

$$\begin{array}{rcl}\frac{0}{1}& =& 0\\ \frac{0}{0,1}& =& 0\\ \frac{0}{0,01}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,001}}& =& 0\\ \frac{0}{\mathrm{0,000}1}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{\mathrm{0,000}0000001}& =& 0\\ & \dots & \\ \frac{0}{0}& =& 0?\end{array}$$

Vedem că oricât de aproape de zero ar fi numărul prin care împărțim, obținem în continuare zero ca rezultat. Din aceasta am putea deduce că 0 / 0 = 0.

Ambele argumente sunt valide pentru a defini câtul 0 / 0. Dar care dintre ele este mai bun? În cele din urmă, chiar dacă l-am alege pe unul dintre ele și l-am declara singurul valid, tot am ajunge la contradicții cu alte părți ale matematicii.

De aceea se preferă ca împărțirea la zero să rămână nedefinită.

Argumentul final împotriva împărțirii la zero

Dacă argumentele de mai sus nu ți-au ajuns, poate te va convinge următoarea dovadă foto a unui caz în care cineva a încercat într-adevăr să împartă la zero: