Adunarea și scăderea
Adunarea și scăderea sunt cele mai simple operații matematice, de care avem nevoie și în viața de zi cu zi. Deși putem aduna multe structuri diferite, aici ne vom ocupa doar de adunarea numerelor întregi.
Adunarea
Operația de adunare se notează cu semnul plus +. Când adunăm, adunăm termeni: dacă vrem să calculăm suma 2 + 3, atât doi, cât și trei se numesc termeni ai sumei. Rezultatul se numește sumă, deci cinci din expresia 2 + 3 = 5 este suma.
Putem aduna practic orice numere, fie numere naturale, ca 1, 5, 157, fie numere negative, ca -4, -74. Putem aduna și numere raționale, adică fracții, numere reale, de exemplu π, și, în sfârșit, numere complexe. Putem aduna și alte structuri – matrice sau vectori.
Adunarea se explică de obicei cu ajutorul unor mere – dacă ai în coș trei mere și cineva îți mai dă patru, câte mere vei avea? Vei avea 3 + 4 = 7.
Cum adunăm numere mari
Dacă ți-aș cere să aduni 17.564 și 3272, probabil că nu ai spune rezultatul doar din cap. De aceea se folosește fie calculatorul, fie creionul și hârtia. Nu te voi învăța cum să tastezi pe calculator, să ne concentrăm pe calculul pe hârtie.
Scriem numerele pe care vrem să le adunăm unul sub altul și le aliniem la dreapta – astfel încât ordinele identice (zeci, sute, …) să fie unele sub altele. Sub ambele numere tragem o linie orizontală. Va arăta astfel:
Acum adunăm numerele care sunt unul sub altul. Dacă suma cifrelor este mai mică decât zece, scriem pur și simplu suma sub linie. Începem din dreapta, de la cel mai mic ordin. Prima dată adunăm 4 + 2, ceea ce este egal cu șase. Șase este mai mic decât zece, așa că scriem șase sub linie:
Continuăm și adunăm 6 + 7. Obținem 13, care este deja mai mare decât zece. Acum scriem sub linie doar cifra de la unități, adică scriem trei (scădem zece din treisprezece).
Ce s-a întâmplat cu cifra 1 pe care am lăsat-o deoparte? Și ce reprezintă ea? Acum lucrăm cu a doua coloană din dreapta, care în număr reprezintă zecile. De fapt, am adunat zecile, adică 60 + 70 = 130. Am hotărât să păstrăm 30, iar pe 100 l-am lăsat pentru mai târziu. Pentru când? Pentru pasul următor, pentru coloana următoare. În pasul următor ajungem la cifrele care corespund sutelor. Iar noi avem o sută în plus, obținută la adunarea zecilor. Cel mai simplu este să adăugăm acea sută la adunarea din pasul următor (spunem: „reținem 1”).
Așadar, în loc să adunăm în pasul următor 5 + 2, vom aduna 5 + 2 + 1, unde acel 1 reprezintă suta obținută la adunarea din pasul anterior. Rezultatul total este opt, mai mic decât zece. Scriem deci opt sub linie.
În pasul următor nu avem nicio mie în plus, așa că adunăm doar 7 + 3 = 10. Acest număr nu este mai mic decât zece, deci sub linie scriem ultima cifră, iar 1 trece mai departe. Scriem așadar zero sub linie, iar pentru pasul următor reținem 1, adică încă zece mii.
În ultima coloană avem o cifră doar pe primul rând. Pe al doilea rând ne imaginăm un zero și adunăm 1 + 0, fără să uităm să adăugăm și 1 din pasul anterior: 1 + 0 + 1 = 2. Scriem doi sub linie.
Aici algoritmul se termină și avem suma numerelor 17.564 + 3272.
Animația adunării în scris
În câmpurile următoare poți introduce două numere naturale, apoi poți urmări animația întregului procedeu.
Reprezentarea grafică a adunării
Putem reprezenta grafic adunarea pe axa numerelor. Axa numerelor este o dreaptă pe care sunt marcate toate numerele. Poate arăta astfel:
Dacă am vrea să ilustrăm pe această axă adunarea a două numere, de exemplu 3+4, am proceda astfel: am desena un segment care începe în origine, adică în zero, și se termină în trei. La adunare orientăm segmentul spre dreapta punctului din care am pornit. Deci așa:
Acum reprezentăm pe axă patru. De data aceasta pornim însă din trei și de acolo ducem spre dreapta un segment de lungime patru. Astfel:
Punctul în care s-a terminat al doilea segment, cel verde, reprezintă rezultatul final: 3 + 4 = 7.
Scăderea
Scăderea este operația inversă adunării. Dacă la un număr a adaugi numărul b și apoi scazi înapoi numărul b, obții din nou numărul a. Vom arăta procedeul pe exemplul 158.748 − 99.575. Ca la adunare, scriem numerele unul sub altul:
Sub linie vom scrie rezultatul, ca la adunare. Pornim din dreapta, de la cele mai mici ordine. Mai întâi calculăm deci unitățile. Dacă numărul de sus (descăzutul) nu este mai mic decât cel de jos (scăzătorul), scriem sub linie diferența: numărul de sus − numărul de jos. (Sau invers – dacă cel de jos este mai mic sau egal, putem scădea fără grijă.) La unități numărul de sus nu este mai mic, deci scriem diferența 8 − 5 = 3.
Ne deplasăm cu o cifră spre stânga, ajungem la zeci. Aici numărul de sus este mai mic decât cel de jos. Adăugăm atunci zece la numărul de sus și facem același calcul: numărul de sus + 10 − numărul de jos. Rezultatul va fi 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
Ca să scădem zecile, ne-am ajutat socotind acolo zece zeci, așa că trebuie să ținem cont de asta în pasul următor. Zece zeci înseamnă o sută, deci în pasul următor scădem cu o sută în plus. Asta înseamnă că la cifra 5 de jos adăugăm 1 din pasul anterior.
La sute ne întrebăm așadar dacă șapte (numărul de sus) este mai mic decât șase (numărul de jos + 1). Nu este, deci putem face diferența obișnuită, sus minus jos. Și aici însă trebuie să adăugăm 1 la numărul de jos, deci în rezultat avem 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
În pasul următor nu transportăm nimic, în acest pas nu a trebuit să împrumutăm niciun ordin mai mare. La mii deci nu adăugăm nimic nicăieri. Cifra 8 din numărul de sus este însă mai mică decât cifra 9 din numărul de jos, așa că va trebui să adăugăm zece la numărul de sus. Obținem diferența 8 + 10 − 9 = 9.
În pasul următor transportăm 1 și îl adăugăm la numărul de jos. Nouă plus unu face zece, iar cifra 5 de sus este mai mică decât zece. Adăugăm zece la numărul de sus și facem diferența: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Din nou ne-am ajutat de un ordin mai mare, deci transportăm 1 în pasul următor. Acolo jos nu avem nicio cifră, așa că presupunem zero. Dacă adăugăm 1, obținem rezultatul unu. Numărul de sus nu este mai mic decât cel de jos (acum sunt egale), deci putem scădea simplu: 1 − 1 = 0.
Și avem rezultatul. Zeroul de la început îl putem șterge și scriem: 158.748 − 99.575 = 59.173.
Reprezentarea grafică a scăderii
Scăderea o putem reprezenta pe axa numerelor la fel ca adunarea. Doar că, atunci când desenăm segmentul, îi schimbăm sensul. Nu desenăm segmentul spre dreapta punctului curent, ci spre stânga. Deci, dacă ar trebui să calculăm 2 − 5, am proceda astfel. Mai întâi am marca pe axă doi, în sens pozitiv, deoarece doi este pozitiv. Pe cinci îl scădem, așa că segmentul lui va merge invers.
Acum desenăm pe axă al doilea segment, care va reprezenta minus cinci. Începem din punctul în care am ajuns, adică din doi. Segmentul îl desenăm însă înapoi, spre stânga.
