Rötter

Roten ur är en partiell invers funktion till potensen. Oftast arbetar vi med kvadratroten, som söker det tal som, multiplicerat med sig självt, ger det ursprungliga talet som vi tog roten ur.

Kvadratrot

För roten ur används tecknet $\sqrt{}$, och för att vi inte ska behöva skriva rotens argument inom parentes, ungefär så här: $\sqrt{}$(25), dras ett vågrätt streck över hela argumentet (uttrycket som vi vill dra roten ur), så här: $\sqrt{25}$.

I början sysslar vi bara med kvadratroten ur ett reellt tal. Den definierar vi så här:

$$\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

Om du multiplicerar roten ur a med roten ur a får du talet a. För talet 9 är alltså roten lika med 3, eftersom 3 · 3 = 9.

Det förra uttrycket kan vi också skriva så här:

$${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$$

Det är bara ett annat sätt att skriva den förra multiplikationen, nämligen med hjälp av en potens.

Det viktiga är att den här ekvationen bara gäller för de a som tillhör rotens definitionsmängd. Det gäller nämligen att vi inte kan dra roten ur ett negativt tal. Vi kan dra roten ur vilket positivt tal som helst, vi kan dra roten ur noll, men vi kan inte dra roten ur ett negativt tal? Varför går det inte?

Anta att vi vill beräkna roten ur −25. Vi har i princip två möjligheter för vilket tal vi ska välja. Antingen ett positivt eller ett negativt. Om vi väljer ett positivt tal har vi 5 · 5 = 25. Vi fick visserligen 25, men vi vill ha −25. Vi försöker alltså med −5; men efter multiplikationen har vi återigen 25. Kort sagt, om du multiplicerar två negativa tal får du ett positivt tal. Detsamma gäller när du multiplicerar två positiva tal. Du skulle behöva multiplicera −5 · 5 för att få −25, och det går inte, eftersom du då multiplicerar två olika tal, även om de bara skiljer sig i tecknet. Därför går det inte att beräkna roten ur ett negativt tal.

n:te rot

På samma sätt som vi kan upphöja ett uttryck till två, till tre, till fyra, kan vi också ha tredje roten, fjärde roten och slutligen n:te roten ur ett reellt tal. Talet skrivs vanligen litet till vänster ovanför rottecknet, så här:

$$\sqrt[5]{32}$$

Den här skrivningen betecknar femte roten ur talet trettiotvå. n:te roten definierar vi med hjälp av n:te potensen så här:

$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^n=a;n\in {\mathbb{Z}}^{+},a,b\ge 0$$

Om vi sätter in två som n får vi kvadratroten på det sätt som vi definierade den nyss. Kortare kan vi också definiera det så här:

$${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$$

Enligt konvention behöver vi inte skriva tvåan för kvadratroten, alltså är dessa skrivsätt ekvivalenta:

$$\sqrt{64}=\sqrt[2]{64}$$

För fjärde roten skulle det till exempel gälla:

$$\sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}=a$$

Och ett konkret exempel:

$$\sqrt[3]{64}=4$$

Och omvänt gäller 4 · 4 · 4 = 64.

Rot ur ett negativt tal

Vi vet redan att det inte finns någon kvadratrot ur ett negativt tal, eftersom a², där a är ett reellt tal, aldrig blir negativt. Men vid högre rötter multiplicerar vi inte bara två gånger, så det kan förekomma fall där n:te roten ur ett negativt tal finns. Hur är det alltså?

Det som störde oss var att när vi multiplicerar ett negativt tal två gånger får vi ett positivt tal. För resultatet −25 behövde vi produkten −5 · 5. Men vad händer när vi multiplicerar tre negativa tal? Efter att vi multiplicerat de två första negativa talen har vi ett positivt tal. Men efter multiplikation med det sista negativa talet har vi åter ett negativt tal. Om vi multiplicerar en gång till (sammanlagt fyra gånger) är vi tillbaka bland de positiva talen.

Lärdomen är att om vi multiplicerar ett negativt tal n gånger, är produkten positiv när n är jämnt och negativ när n är udda. Av det drar vi slutsatsen att n:te roten ur ett negativt tal finns när n är udda. Exempel:

$$\sqrt[3]{-216}=-6$$

Omskrivning till potens

Rötter kan vi enkelt skriva om till potenser, och det görs ofta, eftersom det blir lättare att räkna med rötterna då. Följande samband gäller:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Om vi har n:te roten ur a är det detsamma som att vi upphöjer a till 1/n. Det kan också vara användbart när du ska mata in en högre rot än kvadratroten någonstans. Ofta går det inte direkt, men man kan skriva ett bråk i exponenten. Om du vill rita grafen till fjärde roten kan du låta programmet rita grafen till funktionen

$$f(x)=x^{1/4}.$$

Oftast används omskrivningen av kvadratroten:

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

Formler för rötter

Eftersom en rot enkelt kan skrivas om till en potens ärver uttryck med rötter formlerna för allmänna potenser. Följande samband gäller alltså:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

$$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}a\ge 0,b>0$$

$$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$$

$$\sqrt[n]{a^k}=a^{\frac{k}{n}}a>0$$

Samtidigt gäller dessa grundläggande samband:

$$\sqrt[n]{0}=0$$

$$\sqrt[n]{1}=1$$

$$\sqrt[1]{a}=a$$

Förenkling av rötter

Delvis rotutdragning (att bryta ut en faktor ur roten) är en teknik som används för att förenkla rötter, och den utnyttjar en av de föregående formlerna:

$$\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}a,b\ge 0$$

Vissa uttryck under rottecknet kan vi nämligen dela upp i en produkt, sedan skriva om till två rötter och till sist dra roten ur en av de rötterna. Ett typiskt exempel kan vara det här:

$$\sqrt{4x}$$

Det här uttrycket kan vi enligt den förra formeln skriva om så här:

$$\sqrt{4x}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{x}=$$

Och nu kan vi dra roten ur fyran:

$$=2\cdot \sqrt{x}$$

På liknande sätt kan vi skriva om ett vanligt tal om vi vill behålla den exakta formen. Ett exempel:

$$\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Kalkylator

Om du behöver räkna ut en rot kan du använda vår kalkylator för rötter 🧮.