Att räkna med procent

Procent anger vanligtvis en relativ del av ett helt, där själva helheten uttrycks som 100 %. Procent kan alltid skrivas som bråk.

Procent som del av ett helt

Vi använder procent när vi vill uttrycka en del av något helt. Procent kan ersätta uttryck som ”en fjärdedel av klassen fick F” eller ”varannan person är man”. Vi har alltid ett helt, till exempel en hel klass med elever, och sedan säger vi att en fjärdedel av dem fick F. Om det går 32 elever i klassen och en fjärdedel av dem fick F, är det totala antalet elever som fick F lika med:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{vilket är detsamma som}\frac{32}{4}=8$$

I det andra fallet kan vi ha en stad, låt oss säga Östersund. Den har ungefär 60 000 invånare. Om varannan invånare är man betyder det att hälften av dem är män, vilket vi skriver som:

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{vilket är detsamma som}\frac{60000}{2}=30000$$

Vidare kunde vi säga att ”var hundrade person i Östersund är matematiker”. Då skulle vi ha $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$ matematiker i Östersund. ”Var hundrade” är detsamma som ”en hundradel av invånarna”.

Nu kan vi införa begreppet procent. En procent, som vi skriver 1 %, betyder en hundradel av det hela. Det betyder att när vi säger att ”var hundrade person i Östersund är matematiker” och ”en procent av människorna i Östersund är matematiker”, så säger vi samma sak. En procent av det hela räknar vi ut genom att multiplicera det hela med $\frac{1}{100}$ eller dividera med 100, det är samma sak.

Procent kan vi enkelt göra om till bråk och sedan arbeta vidare med dem. Om vi skulle säga att ”i Östersund har x % av människorna mörkt hår”, är det samma sak som att säga ”i Östersund har $\frac{x}{100}\cdot 60000$ personer mörkt hår”. 100 % representerar då det hela, alltså alla invånare. Meningen ”100 % av eleverna gick vidare till nästa årskurs” betyder att alla elever gick vidare. Meningen ”0 % av eleverna blev underkända” säger att ingen blev underkänd. Exempel:

1. 35 % av invånarna i Östersund åker buss. Hur många personer åker buss? 35 % är detsamma som $\frac{35}{100}$ av det hela (= ”trettiofem hundradelar av det hela”). Vi räknar så här: $\frac{35}{100}\cdot 60000$. Det går enkelt att räkna ut genom att först dividera 60 000 med hundra och sedan multiplicera resultatet med 35. I grunden gör vi den här omskrivningen:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60000=\frac{35\cdot 60000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21000$$

   Vi kan tänka oss det så att vi först räknar ut hur många invånare som motsvarar en procent: $\frac{1}{100}\cdot 60000=600$. En procent motsvaras av 600 invånare. Vi vill veta 35 % av invånarna, så vi multiplicerar bara dessa 600 invånare med 35: 35 · 600 = 21 000.

2. Oscar tjänar i genomsnitt 400 kr om dagen. Idag tjänade han bara 75 % av sin genomsnittliga lön. Hur mycket tjänade Oscar? Tillvägagångssättet är fortfarande detsamma. Det hela är 400 och 75 % gör vi om till bråket $\frac{75}{100}$. Det här bråket kan vi förkorta till bråket $\frac{3}{4}$. Vi multiplicerar det hela med det här bråket:

   $$\frac{3}{4}\cdot 400=\frac{3\cdot 400}{4}=3\cdot 100=300$$

3. Nästa dag tog Oscar igen det och tjänade 150 % av sin genomsnittliga lön. Hur mycket tjänade han? Kan man alls ha mer än 100 %, när vi sa att 100 % är det hela? Ja, det går. Precis som någon kan tjäna ”tre gånger så mycket pengar som i genomsnitt”, kan någon tjäna 150 % av sitt genomsnitt.

   Vi går tillväga på exakt samma sätt. 150 % gör vi om till bråket $\frac{150}{100}$ och multiplicerar Oscars genomsnittliga lön, alltså 400, med det bråket:

   $$\frac{150}{100}\cdot 400=\frac{150\cdot 400}{100}=\frac{150\cdot 4}{1}=150\cdot 4=600$$

Procent som proportionalitet

En del av ett helt, uttryckt i procent, kan vi enkelt göra om till proportionalitet. Låt oss stanna kvar hos Oscar, som i genomsnitt tjänar 400 kr om dagen och idag tjänade 75 % av sin genomsnittliga lön. Det kan vi nämligen skriva med proportionalitet så här:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 400\text{ kr}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ kr}\end{array}$$

Eftersom det handlar om en rät proportionalitet får vi formen:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{400}$$

Vi multiplicerar ekvationen med 400 och har:

$$\frac{75\cdot 400}{100}=x$$

Och därifrån räknar vi lätt ut resultatet:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 400}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 4}{1}& =& x\\ x& =& 75\cdot 4\\ x& =& 300\end{array}$$

Vi ser att vi fick samma tal.

Och om vi känner till delen men inte det hela?

I de tidigare exemplen räknade vi alltid med att vi känner till det hela exakt och ska räkna ut en viss del, angiven i procent. Men vad gör vi om vi känner till just delen och inte det hela? Exempel: Oscar har 120 samlarkort med ett stort grönt monster. Trots att det är ett aktningsvärt antal kort med gröna monster har han ändå bara sextio procent av Alices kort. Hur många kort har Alice?

Här känner vi till delen men inte det hela — det ska vi först räkna ut. Nu vet vi att 120 kort motsvarar 60 % av de kort som Alice har. För att få veta hur många kort som motsvarar en procent räcker det att dividera de hundratjugo med sextio. Vi får talet två: 120/60 = 2. En procent av korten är i verkligheten två kort med gröna monster. Eftersom vi räknar ut det hela — och det är alltid 100 % — multiplicerar vi antalet kort med hundra. Och vi har 200 kort, vilket är rätt resultat.

Vi kan kontrollera det genom att räkna ut 60 % av 200: Vi multiplicerar helt enkelt

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Vi ser att 60 % av 200 är 120, vilket är precis det antal kort med gröna monster som Oscar har.

Addition av procent

Om vi ska räkna ett exempel där procent förekommer är det alltid bäst att i stället för procent räkna ut de exakta värdena och sedan addera dem. Uppgiften kunde alltså låta ungefär så här: Hugo tjänar 15 000, Lucas 20 000 och Maja 25 000 kr. Räkna nu ut hur många kronor Elsa tjänar, om hon tjänar 30 % av vad Hugo tjänar plus 40 % av vad Lucas tjänar plus 25 % av vad Maja tjänar.

Här har vi tre uttryck med procent, men varje uttryck kommer från ett annat helt. Hugo, Lucas och Maja tjänar var och en olika mycket pengar. Så först räknar vi ut 30 % av Hugos lön. Det är 15 000/100 = 150. Sedan multiplicerar vi 150 · 30 och får 4500. Därefter är det dags för 40 % av Lucas lön. Det är 20 000/100 = 200. Återigen multiplicerar vi med 40 och har 200 · 40 = 8000. Den sista delen är 25 % av Majas lön. Hon tjänar 25 000, varav en procent är 25 000/100 = 250. Genom att multiplicera med 25 får vi 250 · 25 = 6250. Nu behöver vi bara addera alla delresultat: 4500 + 8000 + 6250 = 18 750. Elsa tjänar 18 750 kr, vilket är en ganska fin inkomst.

Men det kan hända att vi verkligen ska addera procent. Procent kan vi addera bara om de har samma bas, samma helhet. Om till exempel William tjänade 20 % av vad Lucas tjänar plus 30 % av vad Lucas tjänar, kan vi addera procenten, eftersom det handlar om samma bas — båda uttrycken räknar med Lucas grundlön. Resultatet blir alltså 20 % + 30 % = 50 %. William tjänar hälften av vad Lucas tjänar, tio tusen.

Den lömska additionen av procent i flera steg

Tänk dig nu följande situation: Emil tjänade 10 000 första året. Andra året fick han en löneförhöjning, och lönen höjdes med 30 %. Nästa, tredje, året fick han återigen en löneförhöjning och lönen höjdes igen, fast den här gången bara med 10 %. Frågan är vilken lön Emil har nu?

Den här sortens exempel lockar starkt till att addera procenten på samma sätt som i det förra fallet. Vi räknar ju fortfarande — till synes — med samma bas, Emils lön. Så vi räknar ut 30 % + 10 % och lägger det till hans grundlön. Emil skulle då tjäna 14 000 kr. Men så är det inte. Vi går igenom det.

Första året tjänade han 10 000. Andra året tjänade han 10 000 + 30 %. Det är 13 000, vilket du säkert redan själv har räknat ut. Och året därpå höjdes lönen med tio procent. Men se upp! Basen är inte längre de tio tusen som han hade första året. Basen är nu tretton tusen! Och som vi vet kan vi addera procent bara om procenten räknas från samma bas. Och i vårt fall är baserna olika. Första gången var den 10 000 och nu är den 13 000. Så sista året tjänade Emil 13 000 + 10 %, vilket är 14 300.

Lösningen med 14 000 var dels fel, dels lurade vi stackars Emil på 300 kr. Var inte elak mot Emil!

Köp en lärobok i matematik på rea!

Ett klassiskt exempel är också det med rabatt. Tänk dig att de i affären har en lärobok i matematik som du verkligen önskar dig av tomten i julklapp. Vad skulle du annars önska dig, eller hur? :-)

Före jul höjer de dock priset på boken, med 20 %. Du säger till dig själv att du väntar och köper den efter jul. Det gjorde du rätt i, eftersom affären efter helgerna sänkte priset på boken med 20 %. Frågan är — kostar boken lika mycket som före prishöjningen? Eller kostar den mer/mindre?

En del människors sunda förnuft säger återigen att boken kommer att kosta lika mycket, men det stämmer inte. Låt oss räkna ut det. Säg att boken kostade 300 kr. En prishöjning på 20 % betyder att boken blev dyrare med $\frac{20}{100}\cdot 300=60$ kr. Boken kostade alltså 360 kr.

Men 20 % rabatt räknas inte längre från basen 300, utan från basen 360! Det betyder att boken blir billigare med $\frac{20}{100}\cdot 360=72$ kr. Boken kostar efter rabatten 288 kr.

(Men ärligt talat, vem skulle köpa en lärobok i matematik när ”Matte på ren svenska” finns här för dig ;-))

Promille

Promille används oftast när man mäter alkohol i blodet hos en förare. En del människor tror felaktigt att promille är en tusendel av en procent, men det är fel, se upp med det. Promille är en tusendel av det hela. I övrigt räknar man med promille precis som med procent. Om du vill ta reda på x promille av 5000 räknar du det som $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. I stället för 100 står det 1000 i bråkets nämnare. Tre promille av 5000 är alltså $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Promille skrivs med symbolen ‰. Det gäller alltså att $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Mer i en separat artikel om promille.

Typografi för procent

Enligt svenska skrivregler ska det alltid stå ett mellanslag mellan talet och procenttecknet: ”100 %”, inte ”100%”. Som adjektiv skriver vi ”hundraprocentig”. Tänk på det när du skriver, och bli inte alltför upprörd när tidningarna har fel :-).

Procentenhet

Förutom vanliga procent kan vi också ha procentenheter. Vad är skillnaden? Tänk dig att webbläsaren Firefox för två år sedan användes av 20 % av människorna, men i år används den redan av 30 % av människorna. Hur stor är ökningen mellan de här två åren? Det vore fel att säga att ökningen är tio procent. Om Firefox först användes av 20 % av människorna och sedan av 30 %, betyder det att den nu används av hälften fler människor än tidigare. Det innebär en ökning på femtio procent.

Men det är ändå lite fånigt att säga att ökningen är 50 %, när det vore begripligare för alla om vi sa att procenttalet steg med tio. Och just därför har vi procentenheter. I det här fallet kan vi säga att ökningen av användningen av webbläsaren Firefox är tio procentenheter. Procentenheter kan vi använda när vi vill uttrycka en enkel skillnad mellan två procentuppgifter.