Egenskaper hos funktioner

En funktion är en regel som till varje tal x i definitionsmängden M ordnar exakt ett y i värdemängden N. Funktionen skriver vi vanligtvis på formen y = f(x), eller så kan vi ange den explicit, till exempel f(x) = x, där variabeln x är funktionens argument.

Definitionsmängd och värdemängd

För varje funktion måste vi också bestämma dess definitionsmängd, alltså mängden av alla tillåtna värden på argumentet x, med andra ord alla värden som variabeln x kan anta. Definitionsmängden för funktionen f betecknar vi D_f.

Ett enkelt exempel: för f(x) = x är definitionsmängden hela mängden av de reella talen, D_f = ℝ. Ett annat exempel: för $f(x)=\frac{1}{x}$ är definitionsmängden mängden av de reella talen, men den här gången utom noll, eftersom du inte kan dela med noll och uttrycket då skulle sakna mening, D_f = ℝ ∖ {0}.

Värdemängden är på motsvarande sätt mängden av alla tillåtna y, alltså mängden av alla element som funktionen f kan peka på. Återigen ett enkelt exempel: låt oss ta funktionen f(x) = x. Här är värdemängden ℝ, eftersom y kan anta vilket värde som helst i den mängden. Låt oss nu ta en annan funktion, f(x) = |x| (absolutbelopp). Här blir värdemängden intervallet [0, +∞[, eftersom det aldrig kan hända att y till exempel är lika med minus fem, vilket enligt definitionen av absolutbelopp inte är möjligt.

Om vi håller oss till begreppet avbildning från en mängd A till en mängd B gäller att mängden A är definitionsmängden och mängden B är den målmängd som funktionen avbildar på. Värdemängden är en delmängd av målmängden.

Monotonitet hos en funktion

Monotonitet är en egenskap som anger om en funktion i ett visst intervall är strängt växande, strängt avtagande, avtagande (icke-växande), växande (icke-avtagande), konstant eller inget av det nämnda.

Egenskapen går bäst att utläsa ur grafen: om det ser ut som att grafen sjunker är funktionen strängt avtagande, och om funktionen stiger är den strängt växande. Enkelt som en plätt :-). Definitionerna ser ut så här: vi har en funktion f och låt x₁, x₂ ∈ D_f. Då säger vi att

• funktionen f är strängt växande om x₁ < x₂ medför f(x₁) < f(x₂).
• funktionen f är strängt avtagande om x₁ < x₂ medför f(x₁) > f(x₂). (Definitionen ser likadan ut, men i det första fallet står det < vid funktionsvärdena och i det andra >)

Titta på grafen till den strängt växande funktionen f(x) = ln(x):

Vi ser att när vi väljer x₁, x₂ så att x₁ < x₂, gäller också att f(x₁) < f(x₂). Titta nu på en annan graf, den här gången till funktionen $f(x)=\frac{1}{x}$, som är strängt avtagande till exempel i intervallet ]0, +∞[:

Här ser vi att när x₁ < x₂ gäller för funktionsvärdena tvärtom f(x₁) > f(x₂). Trots att x₁ är mindre än x₂ ”ger” det ett större funktionsvärde.

Vi tar också de återstående definitionerna:

• Funktionen f är växande (icke-avtagande) om x₁ < x₂ medför f(x₁) ≤ f(x₂). (Definitionen liknar den för en strängt växande funktion, men vi tillåter att funktionen har ett konstant värde på en viss sträcka)
• Funktionen f är avtagande (icke-växande) om x₁ < x₂ medför f(x₁) ≥ f(x₂).
• Funktionen f är konstant om värdemängden bara består av ett enda element, det vill säga om f(x₁) = f(x₂) gäller för alla x₁, x₂.

Ett exempel på en avtagande (icke-växande) funktion är funktionen f(x) = |x|−x:

Lägg märke till att funktionen sjunker i intervallet ]−∞, 0[, men i resten av intervallet har den ett konstant funktionsvärde (noll). I hela definitionsmängden är det alltså en avtagande (icke-växande) funktion.

Jämna och udda funktioner

Vissa funktioner kan under vissa villkor vara jämna eller udda. Det enklaste är att känna till funktionens graf, där syns det snabbast. En jämn funktion är nämligen symmetrisk kring y-axeln, medan en udda funktion är symmetrisk kring origo (0, 0). Ett exempel på en jämn funktion är y = x², och en udda funktion är till exempel y = 2x. Definitionerna ser ut så här. Funktionen f är

• jämn om f(x) = f(−x) för alla x ∈ D_f,
• udda om −f(x) = f(−x) för alla x ∈ D_f.

Jämna och udda funktioner behandlas i en egen artikel, Jämna och udda funktioner.

Injektiv funktion

En injektiv funktion känner vi igen på att alla funktionsvärden är unika, inget funktionsvärde upprepas. Definition:

Funktionen f är injektiv om det för alla x₁, x₂ ∈ D_f gäller att

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Om vi väljer två olika x ur funktionens definitionsmängd måste deras funktionsvärden alltid vara olika.

Grafiskt är det som alltid mycket enkelt att se. Om du drar en linje parallell med x-axeln genom grafen får den skära grafen i högst en punkt. Ett exempel på en injektiv funktion är den linjära funktionen y = 3x. Vilken linje du än tar skär den grafen i exakt en punkt. Motsatsen är till exempel funktionen sinus, vars graf bildar ett slags vågor, så om du lägger en linje parallell med x-axeln som skär y-axeln i punkten $\frac{1}{2}$ hittar du oändligt många skärningspunkter med grafen, och därför är den inte injektiv.

Begränsad funktion

Funktioner kan vara begränsade, och då uppåt begränsade, nedåt begränsade eller både uppåt och nedåt. En sådan funktion kallar vi helt enkelt en begränsad funktion. Funktionen f är uppåt begränsad om vi kan hitta ett reellt tal A som är större än alla funktionsvärden hos f. På motsvarande sätt gäller det för en nedåt begränsad funktion. Definitionerna är alltså:

• Funktionen f är uppåt begränsad om det finns ett A ∈ ℝ sådant att A > f(x) för alla x ∈ D_f.
• Funktionen f är nedåt begränsad om det finns ett A ∈ ℝ sådant att A < f(x) för alla x ∈ D_f.

Grafiskt kan vi tänka oss det så att vi söker en linje parallell med x-axeln (alltså en vågrät linje) som ligger ovanför eller nedanför hela funktionens graf.

I bilden ser vi grafen till funktionen f(x) = x⁴, som är nedåt begränsad. Lägg märke till att vi inte alls behöver hitta det A som ligger ”närmast” grafen, det räcker att placera linjen var som helst under grafen.

Minimum och maximum

Funktionen f har ett maximum i punkten M i definitionsmängden om funktionsvärdet i just den punkten M är det högsta av alla funktionsvärden som funktionen har. På motsvarande sätt för minimum. Definitioner:

• Funktionen f har ett globalt maximum i punkten M ∈ D_f om f(x) ≤ f(M) för alla x ∈ D_f, kort sagt om funktionsvärdet är högst i punkten M. Om det finns bara ett enda maximum kallar vi det ett strikt maximum.
• Funktionen f har ett globalt minimum i punkten m ∈ D_f om f(x) ≥ f(m) för alla x ∈ D_f, alltså om funktionsvärdet är lägst i punkten m.

I grafen hittar du nog minimum och maximum ganska lätt, du tittar helt enkelt var funktionen ligger lägst eller högst. En funktion behöver förstås varken ha något minimum eller något maximum, eller så kan den ha bara ett minimum eller bara ett maximum. Likaså kan en funktion ha bara lokala extremvärden men inget extremvärde alls i hela definitionsmängden.

Om du behöver hitta minima och maxima, använd derivator. Den exakta metoden beskrivs i artikeln funktionsundersökning.

Exempel

Bestäm funktionens egenskaper utifrån följande graf:

• Definitionsmängden för den här funktionen är intervallet [−4, 4].
• Värdemängden är intervallet [−2, 4].
• Funktionen ser visserligen ut att kunna vara strängt växande, men i intervallet [0, 2] har funktionen ett konstant värde, så den kan inte vara strängt växande. Däremot sjunker funktionen inte i något intervall, och därför är den växande (icke-avtagande).
• Funktionens graf är varken symmetrisk kring y-axeln eller kring koordinatsystemets origo, så funktionen är varken jämn eller udda.
• Är funktionen injektiv? Det har redan sagts att funktionen har ett konstant värde i intervallet [0, 2], så funktionen kan inte vara injektiv. För olika x har den samma y.
• Funktionen är begränsad, både uppåt och nedåt. Vi kan hitta en vågrät linje som ligger ovanför hela grafen och en som ligger under hela grafen.
• Den givna funktionen har också ett minimum och ett maximum. Minimum finns i punkten m = −4 och maximum i punkten M = 4.