Så konstruerar du en triangel

En triangel är en månghörning som har exakt tre sidor. Sidorna betecknar vi med små bokstäver, vanligen a, b, c. En triangel har också tre hörn, som vi betecknar med stora bokstäver, vanligen A, B, C. Sidan a motsvarar då sträckan BC, sidan b sträckan AC och sidan c sträckan AB. Sidan a ligger alltid mitt emot hörnet A, och på motsvarande sätt för de andra sidorna.

Vi känner alla tre sidor

Om vi känner längderna av alla tre sidor är det busenkelt att konstruera triangeln. Vi väljer en av sidorna, till exempel AB, och ritar den som en vanlig sträcka. Sedan måste vi ta reda på var den tredje punkten ligger. Det gör vi enkelt: vi tar en passare, sticker in den i punkten B och ritar en cirkel med radien lika med längden av sidan BC, till exempel fem centimeter. Då får vi alla ställen där punkten C kan ligga för att vara exakt fem centimeter från punkten B. Sedan gör vi samma sak med sidan AC och punkten A. Nu har vi två cirklar, och deras skärningspunkt ger en punkt som ligger på det givna avståndet från hörnet A och på det givna avståndet från punkten B.

Vi känner två sidor och höjden

Varje sida i en triangel har sin höjd, som definieras som den vinkelräta linjen från det motstående hörnet mot den givna sidan. Om den vinkelräta linjen inte skär själva sidan måste vi förlänga sidan tills den skär den vinkelräta linjen. Höjdens grundläggande egenskap är alltså att den är vinkelrät mot den sida den hör till. Det utnyttjas ofta i beräkningsuppgifter, eftersom vi då kan använda Pythagoras sats. Höjden mot sidan c betecknas vanligen med litet h och som index sidans beteckning, alltså i vårt fall h_c. Höjdens fotpunkt (skärningspunkten mellan sidan och den vinkelräta linjen) betecknas på liknande sätt, men i stället för litet h skriver vi stort P: P_c.

Vi drog höjden från hörnet C. Den andra punkten ligger på den motstående sidan AB (alltså sidan c) och sträckan CP_c är vinkelrät mot sidan c. Punkten P_c kallas höjdens fotpunkt; sidan c kallar vi basen. Fotpunkten brukar vi namnge med bokstaven P med ett index som anger det hörn som höjden utgår från. I det här fallet är det hörnet C.

Höjden är ganska lätt att konstruera, du tar en linjal och drar en vinkelrät linje mot sidan c så att den går just genom punkten C. Det är allt.

Höjden kan vi dra från varje hörn i triangeln. Alla höjder skär varandra i en punkt som kallas ortocentrum. Ortocentrum kan ligga inuti triangeln, men behöver inte göra det. I en spetsvinklig triangel ligger ortocentrum inuti triangeln.

Vi känner två sidor och en median

Förutom höjden har varje triangel också tre medianer. En median är en sträcka som förbinder ett hörn med mittpunkten på den motstående sidan. Alla tre medianer skär varandra i en enda punkt, som kallas tyngdpunkten. Tyngdpunkten delar varje median i förhållandet 2:1 – den ena delen av medianen är alltså dubbelt så lång som den andra. Medianer betecknas med litet m och som index den sida som de hör till. Tyngdpunkten betecknas vanligen med ett enda stort T.

Om du känner två sidor och medianen till en av de två sidorna är det mycket lätt att konstruera triangeln. Du börjar återigen med att rita sidan AB och tar sedan reda på var punkten C ligger genom att rita två cirklar, den första med medelpunkt i punkten B (eller A, om du känner längden AC) och den andra med medelpunkt i mittpunkten av sidan AB. Den punkt där cirklarna skär varandra är den sökta punkten C. Tillvägagångssättet är detsamma som när vi känner alla tre sidor, men i stället för triangeln ABC ritar du först triangeln M_cBC, ur vilken du får fram det sökta hörnet C.

Vi känner två sidor och en annan median

Titta först på skissen över hur det ungefär ska se ut:

De röda uppgifterna känner vi, och utifrån dem ska vi konstruera hela triangeln. Tillvägagångssättet är följande – vi kompletterar triangeln till en fyrhörning och ritar resten med hjälp av fyrhörningen. Följande figur förklarar det tydligt (kom ihåg att längden BD är lika med två gånger längden m_b).

Den här fyrhörningen konstruerar vi enkelt. Först konstruerar vi triangeln ABD. Längden av sidan AB känner vi, längden av sidan BD är 2m_b och AD är lika lång som BC. Punkten C hittar vi antingen genom att hitta punkten M_b, som är mittpunkten av sträckan BD, och sedan bara rita strålen AM_b, och längden AC är då längden 2AM_b. Det andra alternativet är att rita en linje parallell med sidan AB, och punkten C ligger på den linjen och har avståndet |AB| från punkten D.