Dikdörtgenler Prizmasının Yüzey Alanı

Dikdörtgenler prizması, küpe benzeyen üç boyutlu bir cisimdir; yüzleri dikdörtgenlerden veya karelerden oluşur. Böyle bir prizmanın nasıl göründüğüne bakalım:

Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanını hesaplamak için altı yüzünün alanını hesaplayıp toplamamız gerekir. Karşılıklı yüzlerin alanı her zaman eşittir. Prizmanın ayrıt uzunlukları şekilde gösterildiği gibi a, b, c ise prizmanın yüzey alanı

$$A=2ab+2ac+2bc$$

olur. Bunu şu formüle sadeleştirebiliriz:

$$A=2(ab+ac+bc)$$

Hesap Makinesi: Dikdörtgenler Prizmasının Yüzey Alanını Hesapla

Formülü nasıl bulduk?

Tüm yüzlerin alanlarını toplamamız gerekir. Önce şu iki karşılıklı yüzü alalım:

Bu yüzler ABGH ve CDEF dikdörtgenleridir. O hâlde dikdörtgenin alanı formülünü kullanırız: dikdörtgenin kenar uzunluklarını çarparız. ABGH dikdörtgeninin alanını şu çarpımla buluruz:

$$A(ABGH)=|AB|\cdot |BG|$$

İkinci dikdörtgen CDEF’nin alanını şöyle hesaplarız:

$$A(CDEF)=|CD|\cdot |DF|$$

Ancak AB kenarının uzunluğunun CD kenarının uzunluğuna, BG kenarının uzunluğunun da DF kenarının uzunluğuna eşit olduğunu fark edebiliriz. Yani iki dikdörtgenin alanı eşittir. Prizmanın vurgulanan iki yüzünün alanı toplamı bu yüzden

$$A_1=2\cdot |AB|\cdot |BG|$$

olur.

Şimdi iki yan yüzün alanını hesaplayalım:

İki yüzün alanının eşit olduğunu biliyoruz. BGFD dikdörtgeninin alanını şöyle hesaplarız:

$$A(BGFD)=|BG|\cdot |GF|$$

İki yüzün toplam alanı da

$$A_2=2\cdot |BG|\cdot |GF|$$

olur.

Geriye ön ve arka yüzün alanını hesaplamak kalıyor:

ABCD dikdörtgeninin alanı

$$A(ABCD)=|AB|\cdot |BD|$$

ve vurgulanan yüzeyin toplam alanı

$$A_3=2\cdot |AB|\cdot |BD|$$

olur.

Tüm prizmanın yüzey alanını, kısmi alanların hepsini toplayarak buluruz:

$$A=A_1+A_2+A_3$$