Aria totală a paralelipipedului dreptunghic

Paralelipipedul dreptunghic este un corp tridimensional asemănător cubului, ale cărui fețe sunt dreptunghiuri, eventual pătrate. Să vedem cum arată un astfel de paralelipiped dreptunghic:

Pentru a calcula aria totală a paralelipipedului dreptunghic, trebuie să calculăm aria tuturor celor șase fețe ale sale și să le adunăm. Totodată, fețele opuse au întotdeauna aceeași arie. Dacă muchiile paralelipipedului dreptunghic au lungimile a, b, c, ca în figură, atunci aria sa totală este egală cu

$A_{t} = 2 a b + 2 a c + 2 b c$

ceea ce putem simplifica și mai mult, obținând formula

$A_{t} = 2 (a b + a c + b c)$

Calculator: calculează aria totală a paralelipipedului dreptunghic

Cum am ajuns la formulă?

Trebuie să adunăm ariile tuturor fețelor. Putem lua mai întâi aceste două fețe opuse:

Aceste fețe sunt dreptunghiurile ABGH și CDEF. Folosim deci formula pentru aria dreptunghiului, înmulțind lungimile laturilor dreptunghiului. Aria dreptunghiului ABGH o aflăm deci înmulțind

$A_{A B G H} = | A B | \cdot | B G |$

Aria celui de-al doilea dreptunghi CDEF o calculăm ca

$A_{C D E F} = | C D | \cdot | D F |$

Observăm însă că lungimea laturii AB este aceeași cu lungimea laturii CD, iar lungimea laturii BG este aceeași cu lungimea laturii DF. Ariile celor două dreptunghiuri sunt deci egale. Aria celor două fețe evidențiate ale paralelipipedului dreptunghic este așadar egală cu

$A_{1} = 2 \cdot | A B | \cdot | B G |$

Apoi calculăm aria celor două fețe laterale:

Știm că ariile celor două fețe sunt egale. Calculăm deci aria dreptunghiului BGFD ca

$A_{B G F D} = | B G | \cdot | G F |$

Aria celor două fețe este atunci egală cu

$A_{2} = 2 \cdot | B G | \cdot | G F |$

Ne rămâne să calculăm aria feței din față și a celei din spate:

Aria dreptunghiului ABCD va fi deci egală cu

$A_{A B C D} = | A B | \cdot | B D |$

iar aria întregii suprafețe evidențiate va fi egală cu

$A_{3} = 2 \cdot | A B | \cdot | B D |$

Aria totală a întregului paralelipiped dreptunghic o calculăm adunând toate ariile parțiale:

$A_{t} = A_{1} + A_{2} + A_{3}$

Capitole: Aria pătratului, Aria dreptunghiului, Aria discului, Sectorul circular, Aria trapezului, Aria paralelogramului, Aria rombului, Aria unui poligon regulat, Aria sferei, Aria totală a cubului, Aria paralelipipedului, Aria totală a cilindrului, Aria totală a conului, Aria totală a piramidei

« Anterior: Aria totală a cubului

Următor: Aria totală a cilindrului »