Overfladeareal af kasse

En retvinklet kasse er et tredimensionalt legeme, der ligner en terning, og hvis sideflader udgøres af rektangler eller eventuelt kvadrater. Lad os se, hvordan sådan en kasse ser ud:

Når vi vil beregne overfladearealet af en kasse, skal vi beregne arealet af alle dens seks sideflader og lægge dem sammen. Her gælder, at arealet af to modstående sideflader altid er det samme. Hvis kassens kanter har længderne a, b, c, som det er vist på figuren, så er kassens overfladeareal lig med

$O = 2 a b + 2 a c + 2 b c$

hvilket vi kan forenkle yderligere til formlen

$O = 2 (a b + a c + b c)$

Beregner: beregn overfladearealet af en kasse

Hvordan kom vi frem til det?

Vi skal lægge arealet af alle sideflader sammen. Først kan vi tage disse to modstående sideflader:

Disse sideflader udgøres af rektanglerne ABGH og CDEF. Vi bruger altså formlen til at beregne arealet af et rektangel, hvor vi ganger længderne af rektanglets sider. Arealet af rektanglet ABGH finder vi altså ved at gange

${areal}_{A B G H} = | A B | \cdot | B G |$

Arealet af det andet rektangel CDEF beregner vi som

${areal}_{C D E F} = | C D | \cdot | D F |$

Vi kan dog lægge mærke til, at længden af siden AB er den samme som længden af siden CD, og længden af siden BG er den samme som længden af siden DF. Arealet af begge rektangler vil altså være det samme. Arealet af de to fremhævede sideflader af kassen er altså lig med

$O_{1} = 2 \cdot | A B | \cdot | B G |$

Dernæst beregner vi arealet af de to sideflader til venstre og til højre:

Vi ved, at arealet af begge sideflader er det samme. Vi beregner altså arealet af rektanglet BGFD som

${areal}_{B G F D} = | B G | \cdot | G F |$

Arealet af begge sideflader er så lig med

$O_{2} = 2 \cdot | B G | \cdot | G F |$

Tilbage er at beregne arealet af forsiden og bagsiden:

Arealet af rektanglet ABCD bliver så lig med

${areal}_{A B C D} = | A B | \cdot | B D |$

og arealet af hele den fremhævede flade bliver lig med

$O_{3} = 2 \cdot | A B | \cdot | B D |$

Overfladearealet af hele kassen beregner vi ved at lægge alle delarealerne sammen:

$O = O_{1} + O_{2} + O_{3}$

Kapitler: Areal af kvadrat, Areal af rektangel, Areal af cirkel, Cirkeludsnit, Areal af trapez, Areal af parallelogram, Areal af rombe, Areal af en regulær mangekant, Overfladeareal af kugle, Overfladeareal af terning, Overfladeareal af kasse, Overfladeareal af cylinder, Overfladeareal af kegle, Overfladeareal af pyramide

« Forrige: Overfladeareal af terning

Næste: Overfladeareal af cylinder »