Téglatest felszíne

A téglatest a kockához hasonló háromdimenziós test, amelynek lapjai téglalapok, esetleg négyzetek. Nézzük meg, hogyan néz ki egy ilyen téglatest:

Ha ki akarjuk számítani a téglatest felszínét, ki kell számítanunk mind a hat lapjának területét, és össze kell adnunk őket. Az egymással szemközti lapok területe ráadásul mindig egyenlő. Ha a téglatest élei az ábrán látható módon a, b, c hosszúak, akkor a téglatest felszíne

$$A=2ab+2ac+2bc$$

ami még tovább egyszerűsíthető a következő képletre:

$$A=2(ab+ac+bc)$$

Számológép: számítsd ki a téglatest felszínét

Hogyan jutottunk ide?

Össze kell adnunk az összes lap területét. Először vegyük ezt a két szemközti lapot:

Ezeket a lapokat az ABGH és a CDEF téglalap alkotja. A téglalap területének képletét használjuk tehát, vagyis összeszorozzuk a téglalap oldalainak hosszát. Az ABGH téglalap területét úgy kapjuk meg, hogy összeszorozzuk

$$T_{ABGH}=|AB|\cdot |BG|$$

A másik, CDEF téglalap területét így számítjuk ki:

$$T_{CDEF}=|CD|\cdot |DF|$$

Észrevehetjük azonban, hogy az AB oldal hossza megegyezik a CD oldal hosszával, a BG oldal hossza pedig a DF oldal hosszával. A két téglalap területe tehát egyenlő. Így a téglatest két kiemelt lapjának együttes területe

$$T_1=2\cdot |AB|\cdot |BG|$$

Ezután számítsuk ki a két oldallap területét:

Tudjuk, hogy mindkét lap területe egyenlő. Számítsuk ki tehát a BGFD téglalap területét:

$$T_{BGFD}=|BG|\cdot |GF|$$

A két lap együttes területe ekkor

$$T_2=2\cdot |BG|\cdot |GF|$$

Már csak az elülső és a hátsó lap területét kell kiszámítanunk:

Az ABCD téglalap területe tehát

$$T_{ABCD}=|AB|\cdot |BD|$$

a teljes kiemelt felület területe pedig

$$T_3=2\cdot |AB|\cdot |BD|$$

Az egész téglatest felszínét úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk az összes részterületet:

$$A=T_1+T_2+T_3$$