Área total do paralelepípedo reto-retângulo

O paralelepípedo reto-retângulo é um sólido tridimensional parecido com o cubo, cujas faces são retângulos ou, eventualmente, quadrados. Vamos ver como é um paralelepípedo assim:

Para calcular a área total do paralelepípedo, precisamos calcular a área de todas as suas seis faces e somá-las. Faces opostas têm sempre a mesma área. Se o paralelepípedo tem arestas de comprimentos a, b, c, como mostra a figura, então a sua área total é igual a

$A_{t} = 2 a b + 2 a c + 2 b c$

o que podemos simplificar ainda mais, obtendo a fórmula

$A_{t} = 2 (a b + a c + b c)$

Calculadora: calcule a área total do paralelepípedo

Como chegamos a isso?

Precisamos somar a área de todas as faces. Primeiro podemos pegar estas duas faces opostas:

Essas faces são formadas pelos retângulos ABGH e CDEF. Usamos, então, a fórmula para o cálculo da área do retângulo, multiplicando os comprimentos dos lados do retângulo. Encontramos, portanto, a área do retângulo ABGH multiplicando

$A_{A B G H} = | A B | \cdot | B G |$

Calculamos a área do segundo retângulo CDEF como

$A_{C D E F} = | C D | \cdot | D F |$

Mas podemos notar que o comprimento do lado AB é igual ao do lado CD e o comprimento do lado BG é igual ao do lado DF. A área dos dois retângulos será, portanto, igual. Então, a área das duas faces destacadas do paralelepípedo será igual a

$A_{1} = 2 \cdot | A B | \cdot | B G |$

Depois calculamos a área das duas faces laterais:

Sabemos que a área das duas faces será igual. Calculamos, portanto, a área do retângulo BGFD como

$A_{B G F D} = | B G | \cdot | G F |$

A área das duas faces será, então, igual a

$A_{2} = 2 \cdot | B G | \cdot | G F |$

Falta-nos calcular a área da face da frente e da de trás:

A área do retângulo ABCD será, então, igual a

$A_{A B C D} = | A B | \cdot | B D |$

e a área de toda a superfície destacada será igual a

$A_{3} = 2 \cdot | A B | \cdot | B D |$

Calculamos a área total do paralelepípedo inteiro somando todas as áreas parciais:

$A_{t} = A_{1} + A_{2} + A_{3}$

Capítulos: Área do quadrado, Área do retângulo, Área do círculo, Setor circular, Área do trapézio, Área do paralelogramo, Área do losango, Área do polígono regular, Área da superfície esférica, Área total do cubo, Área total do paralelepípedo reto-retângulo, Área total do cilindro, Área total do cone, Área total da pirâmide

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