Oberfläche eines Quaders

Der Quader ist ein dreidimensionaler Körper ähnlich dem Würfel, dessen Flächen aus Rechtecken oder auch Quadraten bestehen. Schauen wir uns an, wie ein solcher Quader aussieht:

Um die Oberfläche eines Quaders zu berechnen, müssen wir den Flächeninhalt aller seiner sechs Flächen berechnen und addieren. Dabei gilt, dass gegenüberliegende Flächen immer den gleichen Flächeninhalt haben. Hat der Quader die Kantenlängen a, b, c, wie in der Abbildung dargestellt, dann ist die Oberfläche des Quaders gleich

$A_{O} = 2 a b + 2 a c + 2 b c$

was wir noch zur Formel

$A_{O} = 2 (a b + a c + b c)$

vereinfachen können.

Rechner: Berechne die Oberfläche eines Quaders

Wie sind wir darauf gekommen?

Wir müssen den Flächeninhalt aller Flächen addieren. Als Erstes können wir diese zwei gegenüberliegenden Flächen nehmen:

Diese Flächen sind die Rechtecke ABGH und CDEF. Wir verwenden also die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks und multiplizieren die Längen der Rechtecksseiten. Den Flächeninhalt des Rechtecks ABGH erhalten wir also durch die Multiplikation

$A_{A B G H} = | A B | \cdot | B G |$

Den Flächeninhalt des zweiten Rechtecks CDEF berechnen wir als

$A_{C D E F} = | C D | \cdot | D F |$

Wir können aber feststellen, dass die Seite AB genauso lang ist wie die Seite CD und die Seite BG genauso lang wie die Seite DF. Beide Rechtecke haben also den gleichen Flächeninhalt. Der Flächeninhalt der zwei hervorgehobenen Flächen des Quaders ist daher gleich

$A_{1} = 2 \cdot | A B | \cdot | B G |$

Als Nächstes berechnen wir den Flächeninhalt der zwei Seitenflächen:

Wir wissen, dass beide Flächen den gleichen Flächeninhalt haben. Den Flächeninhalt des Rechtecks BGFD berechnen wir also als

$A_{B G F D} = | B G | \cdot | G F |$

Der Flächeninhalt beider Flächen ist dann gleich

$A_{2} = 2 \cdot | B G | \cdot | G F |$

Es bleibt noch der Flächeninhalt der Vorder- und der Rückseite:

Der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD ist somit gleich

$A_{A B C D} = | A B | \cdot | B D |$

und der Flächeninhalt der gesamten hervorgehobenen Fläche ist gleich

$A_{3} = 2 \cdot | A B | \cdot | B D |$

Die Oberfläche des ganzen Quaders berechnen wir, indem wir alle Teilflächeninhalte addieren:

$A_{O} = A_{1} + A_{2} + A_{3}$

Kapitel: Flächeninhalt eines Quadrats, Flächeninhalt eines Rechtecks, Flächeninhalt eines Kreises, Kreissektor, Flächeninhalt eines Trapezes, Flächeninhalt eines Parallelogramms, Flächeninhalt einer Raute, Flächeninhalt eines regelmäßigen Vielecks, Oberfläche der Kugel, Oberfläche eines Würfels, Oberfläche eines Quaders, Oberfläche eines Zylinders, Oberfläche des Kegels, Oberfläche einer Pyramide

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