Koninin Yüzey Alanı

Koninin yüzey alanı, basitçe söylersek, bir koniyi baştan sona yapmak ya da kaplamak istediğimizde ne kadar kâğıt veya sac harcayacağımızı gösterir. Koninin hacmiyle karıştırma; o, koninin içine ne kadar su sığacağını verir. Koninin iki parçası vardır: altta dairesel bir taban, onun üstünde ise tepe noktasında birleşen yanal yüzey.

Şekilde tabanın yarıçapı r kırmızı, yükseklik h mavi, koninin ana doğrusu ℓ ise yeşil çizilmiştir — ana doğru, tepe noktasından taban çemberine olan uzaklıktır.

Koninin Yüzey Alanı Formülü

Yalnızca formülü arıyorsan, tabanının yarıçapı r ve ana doğrusu ℓ olan koninin yüzey alanı A’yı şöyle hesaplarsın:

$$A=\pi \cdot r^2+\pi \cdot r\cdot \ell$$

Birinci toplanan tabanın alanıdır, ikincisi yanal yüzeyin alanı. Formül bazen π · r ortak çarpan parantezine alınarak da yazılır:

$$A=\pi \cdot r\cdot (r+\ell )$$

Taban yarıçapı r = 3 ve ana doğrusu ℓ = 5 olan bir koni alalım. Yüzey alanı

$$A=\pi \cdot 3^2+\pi \cdot 3\cdot 5=9\pi +15\pi =24\pi$$

olur.

Sonucu pi’li biçimde değil de sıradan bir sayı olarak yazmak istersen, pi yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü yaz:

$$A\approx 24\cdot 3,14=75,36$$

Formüle nasıl ulaştık?

Taban sıradan bir dairedir, alanını dairenin alanı formülünden biliyoruz: π · r².

Yanal yüzey ise daha ilginçtir. Onu ana doğrusu boyunca keser ve masanın üstüne serersek, yarıçapı ℓ olan bir daire dilimi elde ederiz. Şekil koninin tüm açınımını gösteriyor: kırmızı daire dilimi yanal yüzey, mavi daire ise tabandır. Şekilde açınım kıvrılarak koni olur, sonra yine açılır.

Turuncu yay, kesilmeden önce tabanın kenarıydı; bu yüzden aşağıdaki turuncu çemberle aynı uzunluktadır, yani çemberin çevresi 2π r kadardır. Yarıçapı ℓ olan tam bir çemberin uzunluğu ise 2πℓ olurdu. Daire dilimi, yarıçapı ℓ olan tam daireden, yayın tam çembere oranı kadar bir parçadır:

$$\frac{2\pi r}{2\pi \ell }=\frac{r}{\ell }$$

Önceki örnekteki koni için bu, şekilde olduğu gibi dairenin beşte üçüdür. Tam dairenin alanı π · ℓ² olurdu, yanal yüzey ondan $\frac{r}{\ell }$ oranında pay alır:

$$A_{\text{yanal}}=\frac{r}{\ell }\cdot \pi \cdot {\ell }^2=\pi \cdot r\cdot \ell$$

Yanal yüzeye bir de tabanı eklersek formülün tamamını buluruz: A = π · r² + π · r · ℓ.

Örnek: kâğıt parti şapkası

Bir kutlama hazırlanıyor ve biz de koni biçiminde kâğıttan bir parti şapkası yapmak istiyoruz. Altta yarıçapı 8 cm, yüksekliği ise 15 cm olacak. Şapka için ne kadar kâğıt harcarız?

Ancak formül yüksekliği değil, ana doğru ℓ’yi ister. Yükseklik, yarıçap ve ana doğru ise bir dik üçgen oluşturur, o hâlde ana doğruyu Pisagor teoremiyle buluruz. r = 8 ve h = 15 yazalım:

$$\ell =\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{8^2+{15}^2}$$

Kareleri alalım:

$$\ell =\sqrt{64+225}=\sqrt{289}$$

Geriye karekökünü almak kalıyor:

$$\ell =17$$

İşte burada bir tuzak bizi bekliyor: şapkanın tabanı yoktur. Formülün tamamını kullanan kişi tabanlı bir şapka yapardı, onu da takmak hiç kolay olmaz. Bu yüzden yalnızca yanal yüzeyi hesaplarız:

$$A_{\text{yanal}}=\pi \cdot r\cdot \ell =\pi \cdot 8\cdot 17=136\pi$$

Pi’nin yaklaşık değerini yazalım:

$$A_{\text{yanal}}\approx 136\cdot 3,14=427,04$$

Şapka için yaklaşık 427 santimetrekare kâğıt harcarız, bir de yapıştırmak için biraz fazlası gerekir.

Hesap Makinesi

Taban yarıçapını ve ana doğruyu gir; her alan için birimi değiştirebilirsin. Hesap makinesi pi’nin tam değerini kullanır, bu yüzden sonuç 75,36’dan biraz daha büyük çıkar.

Ayrıca bak

• Koninin Hacmi
• Daire Dilimi
• Silindirin Yüzey Alanı
• Piramidin Yüzey Alanı