Overflate av rettvinklet prisme

Et rettvinklet prisme (en boks) er en tredimensjonal romfigur som ligner på en kube, og sideflatene er rektangler, eventuelt kvadrater. La oss se hvordan et slikt prisme ser ut:

Når vi skal regne ut overflaten av et rettvinklet prisme, må vi regne ut arealet av alle de seks sideflatene og legge dem sammen. Arealene av motstående sideflater er alltid like. Hvis prismet har kantlengdene a, b, c, som vist på figuren, er overflaten av prismet lik

$$O=2ab+2ac+2bc$$

som vi kan forenkle ytterligere til formelen

$$O=2(ab+ac+bc)$$

Kalkulator: regn ut overflaten av et rettvinklet prisme

Hvordan kom vi fram til dette?

Vi må legge sammen arealet av alle sideflatene. Først kan vi ta disse to motstående sideflatene:

Disse sideflatene er rektanglene ABGH og CDEF. Vi bruker altså formelen for arealet av et rektangel, der vi ganger lengdene av sidene i rektangelet. Arealet av rektangelet ABGH finner vi altså ved å gange

$${\text{areal}}_{ABGH}=|AB|\cdot |BG|$$

Arealet av det andre rektangelet CDEF regner vi ut som

$${\text{areal}}_{CDEF}=|CD|\cdot |DF|$$

Vi kan imidlertid legge merke til at lengden av siden AB er den samme som lengden av siden CD, og lengden av siden BG er den samme som lengden av siden DF. Arealet av de to rektanglene blir altså det samme. Det gjelder derfor at arealet av de to uthevede sideflatene i prismet er lik

$$A_1=2\cdot |AB|\cdot |BG|$$

Videre regner vi ut arealet av de to sideflatene til venstre og høyre:

Vi vet at arealet av begge sideflatene er det samme. Vi regner derfor ut arealet av rektangelet BGFD som

$${\text{areal}}_{BGFD}=|BG|\cdot |GF|$$

Arealet av begge sideflatene blir da lik

$$A_2=2\cdot |BG|\cdot |GF|$$

Det gjenstår å regne ut arealet av for- og baksiden:

Arealet av rektangelet ABCD blir dermed lik

$${\text{areal}}_{ABCD}=|AB|\cdot |BD|$$

og arealet av hele den uthevede flaten blir lik

$$A_3=2\cdot |AB|\cdot |BD|$$

Overflaten av hele prismet regner vi ut ved å legge sammen alle delarealene:

$$O=A_1+A_2+A_3$$