Εμβαδόν επιφάνειας ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

Το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο είναι τρισδιάστατο στερεό παρόμοιο με τον κύβο, του οποίου οι έδρες είναι ορθογώνια ή και τετράγωνα. Ας δούμε πώς μοιάζει ένα τέτοιο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο:

Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν της επιφάνειας του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, πρέπει να υπολογίσουμε το εμβαδόν και των έξι εδρών του και να τα προσθέσουμε. Ισχύει ότι το εμβαδόν των απέναντι εδρών είναι πάντα το ίδιο. Αν οι ακμές του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου έχουν μήκη a, b, c, όπως φαίνεται στο σχήμα, τότε το εμβαδόν της επιφάνειάς του είναι

$$E_{o\lambda }=2ab+2ac+2bc$$

το οποίο μπορούμε να απλοποιήσουμε ακόμη στον τύπο

$$E_{o\lambda }=2(ab+ac+bc)$$

Αριθμομηχανή: υπολόγισε το εμβαδόν της επιφάνειας ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου

Πώς φτάσαμε σε αυτόν;

Πρέπει να προσθέσουμε το εμβαδόν όλων των εδρών. Πρώτα μπορούμε να πάρουμε αυτές τις δύο απέναντι έδρες:

Αυτές οι έδρες είναι τα ορθογώνια ABGH και CDEF. Χρησιμοποιούμε λοιπόν τον τύπο για το εμβαδόν ορθογωνίου, όπου πολλαπλασιάζουμε τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου. Το εμβαδόν του ορθογωνίου ABGH το βρίσκουμε λοιπόν πολλαπλασιάζοντας

$$E_{ABGH}=|AB|\cdot |BG|$$

Το εμβαδόν του δεύτερου ορθογωνίου CDEF το υπολογίζουμε ως

$$E_{CDEF}=|CD|\cdot |DF|$$

Μπορούμε όμως να παρατηρήσουμε ότι το μήκος της πλευράς AB είναι ίσο με το μήκος της πλευράς CD και το μήκος της πλευράς BG είναι ίσο με το μήκος της πλευράς DF. Το εμβαδόν και των δύο ορθογωνίων θα είναι λοιπόν το ίδιο. Ισχύει επομένως ότι το εμβαδόν των δύο επισημασμένων εδρών του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου θα είναι ίσο με

$$E_1=2\cdot |AB|\cdot |BG|$$

Στη συνέχεια υπολογίζουμε το εμβαδόν των δύο πλαϊνών εδρών:

Ξέρουμε ότι το εμβαδόν και των δύο εδρών θα είναι το ίδιο. Υπολογίζουμε λοιπόν το εμβαδόν του ορθογωνίου BGFD ως

$$E_{BGFD}=|BG|\cdot |GF|$$

Το εμβαδόν και των δύο εδρών θα είναι τότε ίσο με

$$E_2=2\cdot |BG|\cdot |GF|$$

Μένει να υπολογίσουμε το εμβαδόν της μπροστινής και της πίσω έδρας:

Το εμβαδόν του ορθογωνίου ABCD θα είναι έτσι ίσο με

$$E_{ABCD}=|AB|\cdot |BD|$$

και το εμβαδόν ολόκληρης της επισημασμένης επιφάνειας θα είναι ίσο με

$$E_3=2\cdot |AB|\cdot |BD|$$

Το εμβαδόν της επιφάνειας ολόκληρου του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου το υπολογίζουμε προσθέτοντας όλα τα επιμέρους εμβαδά:

$$E_{o\lambda }=E_1+E_2+E_3$$