Aire totale d’un pavé droit

Le pavé droit est un solide en trois dimensions semblable au cube, dont les faces sont des rectangles, éventuellement des carrés. Voyons à quoi ressemble un tel pavé :

Pour calculer l’aire totale d’un pavé droit, on calcule l’aire de chacune de ses six faces et on les additionne. Les faces opposées ont toujours la même aire. Si les arêtes du pavé mesurent a, b, c, comme sur la figure, son aire totale est égale à

$$\mathcal{A}=2ab+2ac+2bc$$

ce que l’on peut encore simplifier en la formule

$$\mathcal{A}=2(ab+ac+bc)$$

Calculatrice

Comment l’a-t-on trouvée ?

Il faut additionner les aires de toutes les faces. Prenons d’abord ces deux faces opposées :

Ces faces sont les rectangles ABGH et CDEF. On utilise donc la formule de l’aire d’un rectangle : on multiplie les longueurs des côtés. L’aire du rectangle ABGH s’obtient en multipliant

$${\mathcal{A}}_{ABGH}=AB\cdot BG$$

On calcule l’aire du second rectangle CDEF de la même façon :

$${\mathcal{A}}_{CDEF}=CD\cdot DF$$

Mais on remarque que le côté AB a la même longueur que le côté CD et que le côté BG a la même longueur que le côté DF. Les deux rectangles ont donc la même aire. L’aire des deux faces mises en évidence est donc égale à

$${\mathcal{A}}_1=2\cdot AB\cdot BG$$

Calculons ensuite l’aire des deux faces latérales :

On sait que ces deux faces ont la même aire. On calcule donc l’aire du rectangle BGFD :

$${\mathcal{A}}_{BGFD}=BG\cdot GF$$

L’aire des deux faces est alors égale à

$${\mathcal{A}}_2=2\cdot BG\cdot GF$$

Il nous reste à calculer l’aire de la face avant et de la face arrière :

L’aire du rectangle ABCD est donc égale à

$${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BD$$

et l’aire de toute la partie mise en évidence est égale à

$${\mathcal{A}}_3=2\cdot AB\cdot BD$$

On obtient l’aire totale du pavé en additionnant toutes les aires partielles :

$$\mathcal{A}={\mathcal{A}}_1+{\mathcal{A}}_2+{\mathcal{A}}_3$$