Suorakulmaisen särmiön pinta-ala

Suorakulmainen särmiö on kolmiulotteinen kappale, joka muistuttaa kuutiota ja jonka tahkot ovat suorakulmioita tai neliöitä. Katsotaan, miltä tällainen särmiö näyttää:

Suorakulmaisen särmiön pinta-alan laskemiseksi täytyy laskea kaikkien sen kuuden tahkon pinta-ala ja laskea ne yhteen. Vastakkaisten tahkojen pinta-ala on aina sama. Jos särmiön särmien pituudet ovat a, b, c, kuten kuvassa on esitetty, särmiön pinta-ala on

$A = 2 a b + 2 a c + 2 b c$

mikä voidaan vielä sieventää kaavaksi

$A = 2 (a b + a c + b c)$

Laskin: laske suorakulmaisen särmiön pinta-ala

Miten tähän päädyttiin?

Täytyy laskea yhteen kaikkien tahkojen pinta-alat. Ensimmäisenä voidaan ottaa nämä kaksi vastakkaista tahkoa:

Nämä tahkot ovat suorakulmioita ABGH ja CDEF. Käytetään siis suorakulmion pinta-alan kaavaa, jossa suorakulmion sivujen pituudet kerrotaan keskenään. Suorakulmion ABGH pinta-ala saadaan siis kertomalla

$A_{A B G H} = | A B | \cdot | B G |$

Toisen suorakulmion CDEF pinta-ala lasketaan kaavalla

$A_{C D E F} = | C D | \cdot | D F |$

Voidaan kuitenkin huomata, että sivun AB pituus on sama kuin sivun CD pituus ja sivun BG pituus on sama kuin sivun DF pituus. Molempien suorakulmioiden pinta-ala on siis sama. Särmiön kahden korostetun tahkon yhteenlaskettu pinta-ala on siis

$A_{1} = 2 \cdot | A B | \cdot | B G |$

Seuraavaksi lasketaan kahden sivutahkon pinta-ala:

Tiedetään, että molempien tahkojen pinta-ala on sama. Lasketaan siis suorakulmion BGFD pinta-ala kaavalla

$A_{B G F D} = | B G | \cdot | G F |$

Molempien tahkojen pinta-ala on tällöin

$A_{2} = 2 \cdot | B G | \cdot | G F |$

Jäljellä on etu- ja takatahkon pinta-alan laskeminen:

Suorakulmion ABCD pinta-ala on siis

$A_{A B C D} = | A B | \cdot | B D |$

ja koko korostetun alueen pinta-ala on

$A_{3} = 2 \cdot | A B | \cdot | B D |$

Koko särmiön pinta-ala saadaan laskemalla yhteen kaikki osien pinta-alat:

$A = A_{1} + A_{2} + A_{3}$

Luvut: Neliön pinta-ala, Suorakulmion pinta-ala, Ympyrän pinta-ala, Ympyrän sektori, Puolisuunnikkaan pinta-ala, Suunnikkaan pinta-ala, Neljäkkään pinta-ala, Säännöllisen monikulmion pinta-ala, Pallon pinta-ala, Kuution pinta-ala, Suorakulmaisen särmiön pinta-ala, Lieriön pinta-ala, Kartion pinta-ala, Pyramidin pinta-ala

« Edellinen: Kuution pinta-ala

Seuraava: Lieriön pinta-ala »