Daire Dilimi

Daire dilimi, dairenin pizza ya da pasta dilimine benzeyen bir parçasıdır. Onu merkezden kenara kadar uzanan iki kesikle çıkarırız. Yani dilimi iki yarıçap ve aralarında kalan çember parçası sınırlar.

Kırmızıyla boyanmış kısım dilimin kendisidir, alanını hesaplayacağız. Siyah doğru parçaları, bıçakla yapılan iki kesik olan iki r yarıçapıdır. Turuncuyla gösterilen α, yarıçapların oluşturduğu açıdır. Köşesi dairenin merkezinde olduğu için ona merkez açı denir. Mavi çizgi l yayıdır; dilimi dışarıdan sınırlayan çember parçasıdır — pizzada bu kenardaki hamurdur.

Daire Dilimi Formülleri

Yalnızca formülü arıyorsan, yarıçapı r ve merkez açısı derece cinsinden α olan daire diliminin A ile gösterdiğimiz alanını şöyle hesaplarsın:

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Aynı dilimin l yay uzunluğunu da şöyle hesaplarsın:

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

Örneğin yarıçapı r = 6 ve merkez açısı α = 60° olan dilimin alanı

$$A=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot 6^2=\frac{1}{6}\cdot \pi \cdot 36=6\pi$$

ve yayının uzunluğu

$$l=\frac{{60}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 12\pi =2\pi$$

olur.

Sonucun içinde pi sayısının kalması hoşuna gitmiyorsa onun yerine yaklaşık değeri olan 3,14’ü yazabilirsin:

$$A\approx 6\cdot 3,14=18,84,l\approx 2\cdot 3,14=6,28$$

Bunu Nasıl Bulduk?

Dairenin merkezi çevresindeki tam açı 360°’dir. Daire dilimi, merkez açısının 360°’nin ne kadarını oluşturduğuna bağlı olarak dairenin o kadarlık kısmıdır. 90°’lik dilim dairenin dörtte biridir, çünkü 90°, 360°’nin dörtte biridir. 180°’lik dilim dairenin yarısıdır, 270°’lik dilim dörtte üçüdür, 360°’lik dilim ise tüm dairedir:

Dilimin dairenin ne kadarını kapladığını bize şu kesir söyler:

$$\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}.$$

90° için $\frac{{90}^{\circ }}{{360}^{\circ }}=\frac{1}{4}$, 60° için ise $\frac{1}{6}$ bulunur. Dilimin alanı, tüm dairenin alanının aynı kısmıdır. Dairenin alanı

$$A_{\circ }=\pi \cdot r^2$$

olduğundan, dilimin alanını bulmak için bunu bu kesirle çarparız:

$$A=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot A_{\circ }=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot r^2$$

Yayda da her şey tamamen aynı biçimde işler. Açı açıldıkça mavi yay da uzar ve 360°’de yay tüm çember olur. Bu yüzden α açısı 360°’nin ne kadarıysa, yay da çemberin çevresinin o kadarıdır. Çemberin çevresi

$$\text{Ç}=2\cdot \pi \cdot r$$

olduğundan yayın uzunluğu

$$l=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot \text{Ç}=\frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r$$

olur.

Örnek: Pizza

Bir pizzanın çapı 32 cm’dir ve pizza 8 eşit dilime kesilmiştir. Bir dilimin alanı kaç santimetrekaredir?

Her dilim bir daire dilimidir. Önce merkez açısına ihtiyacımız var. Sekiz eşit dilim tam 360°’yi paylaşır, yani bir dilimin açısı

$$\alpha ={360}^{\circ }:8={45}^{\circ }$$

olur.

Şimdi tuzağa dikkat et: 32 cm pizzanın yarıçapı değil, çapıdır. Oysa formüle yarıçap yazılır; o da çapın yarısıdır, yani r = 16 cm. Daire diliminin alan formülüne yerleştirelim:

$$A=\frac{{45}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot \pi \cdot {16}^2$$

Kesir sadeleşip sekizde bire dönüşür; dilim pizzanın sekizde biri olduğundan bu mantıklıdır. On altının karesini alalım:

$$A=\frac{1}{8}\cdot \pi \cdot 256$$

256’yı 8’e bölelim:

$$A=32\pi$$

Son olarak pi sayısının yaklaşık değerini yazalım:

$$A\approx 32\cdot 3,14=100,48$$

Bir dilimin alanı yaklaşık 100,48 santimetrekaredir. Biri formüle yanlışlıkla tüm çap olan 32 cm’yi yazsaydı dilim dört kat büyük, yani dört yüz santimetrekareden fazla çıkardı. Bu, bütün ailenin doyacağı bir pizza olurdu.

Örnek: Saat

Duvar saatinin yelkovanı 15 cm uzunluğundadır. Yelkovanın ucu 20 dakikada kaç santimetre yol alır?

Yelkovanın ucu, yarıçapı yelkovanın uzunluğu olan bir çember üzerinde hareket eder; yani r = 15 cm. Aldığı yol mavi l yayıdır. Bir de açıya ihtiyacımız var. Yelkovan 60 dakikada tam tur, yani 360° döner. 20 dakikada turun üçte birini tamamlar:

$$\alpha =\frac{20}{60}\cdot {360}^{\circ }={120}^{\circ }$$

Yay uzunluğu formülüne yerleştirelim:

$$l=\frac{{120}^{\circ }}{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot 15$$

Kesir üçte birdir ve 2 · 15 = 30:

$$l=\frac{1}{3}\cdot 30\pi =10\pi$$

Pi sayısının yaklaşık değerini yazalım:

$$l\approx 10\cdot 3,14=31,4$$

Yelkovanın ucu 20 dakikada yaklaşık 31,4 cm yol alır.

Yayı Bilip Açıyı Aradığımızda

Bazen durum tersidir: yarıçapı ve yayın uzunluğunu biliriz, merkez açıyı bulmak isteriz. Yay uzunluğu formülünden yola çıkıp α açısını çekeriz:

$$\begin{array}{rcl}l& =& \frac{\alpha }{{360}^{\circ }}\cdot 2\cdot \pi \cdot r/\cdot {360}^{\circ }\\ {360}^{\circ }\cdot l& =& \alpha \cdot 2\cdot \pi \cdot r/:(2\cdot \pi \cdot r)\\ \alpha & =& \frac{{360}^{\circ }\cdot l}{2\cdot \pi \cdot r}\end{array}$$

Örnek: Bir araba dönel kavşağa girer ve yarıçapı 10 metre olan çember üzerinde ilerler. Kavşaktan tekrar çıkana kadar bu çember üzerinde 15,7 metre yol alır. Araba kavşağın merkezi etrafında kaç derece dönmüştür?

l = 15,7, r = 10 ve pi yerine 3,14 yazalım, çünkü yay uzunluğu yaklaşık olarak verilmiştir:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{2\cdot 3,14\cdot 10}$$

Paydadaki çarpımı yapalım:

$$\alpha =\frac{{360}^{\circ }\cdot 15,7}{62,8}$$

15,7, 62,8’in tam dörtte biridir, bu yüzden kesir sadeleşir:

$$\alpha ={360}^{\circ }\cdot \frac{1}{4}={90}^{\circ }$$

Araba 90° dönmüştür, yani kavşağın dörtte birini dolaşmıştır. Doğru hesaplayıp hesaplamadığımızı kontrol edebiliriz: çevrenin dörtte biri $\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 3,14\cdot 10=15,7$ metredir. Tutuyor.

Radyan Cinsinden Açı

Açı radyan cinsinden verilmişse formüller sadeleşir. Tam daire 360° = 2π radyan olduğundan, dilimin dairenin ne kadarını kapladığını gösteren kesir $\frac{\alpha }{2\pi }$ olur. Yerine yazınca pi sayıları sadeleşir:

$$l=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\alpha \cdot r$$

$$A=\frac{\alpha }{2\pi }\cdot \pi \cdot r^2=\frac{1}{2}\cdot \alpha \cdot r^2$$

Dikkat et, bu kısaltılmış formüllere derece değil, radyan cinsinden açı yazılır. Onlara mesela 45 yazsaydın saçma bir sonuç çıkardı.

Örneğin yukarıdaki pizza diliminin açısı 45°’dir, bu da $\frac{\pi }{4}$ radyandır. O zaman dilimin alanı $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{4}\cdot {16}^2=32\pi$ olur, yine daha önceki gibi.

Hesap Makinesi

Daire diliminin alanını ve yay uzunluğunu da buradan hesaplayabilirsin. Açıyı derece ya da radyan cinsinden girebilirsin; her alanın yanındaki birimi ayrıca değiştirebilirsin.

Ayrıca Bak

• Dairenin Alanı
• Çemberin Çevresi
• Çember
• Radyan