Begränsningsarea av ett rätblock

Ett rätblock är en tredimensionell kropp som liknar en kub, men vars sidoytor är rektanglar, eller i vissa fall kvadrater. Så här ser ett rätblock ut:

För att beräkna rätblockets begränsningsarea måste vi beräkna arean av alla dess sex sidoytor och addera dem. Motstående sidoytor har alltid samma area. Om rätblockets kanter har längderna a, b, c, som i bilden, är dess begränsningsarea

$$A=2ab+2ac+2bc$$

vilket vi kan förenkla ytterligare till formeln

$$A=2(ab+ac+bc)$$

Miniräknare: beräkna begränsningsarean av ett rätblock

Hur kom vi fram till det?

Vi måste addera arean av alla sidoytor. Först kan vi ta de här två motstående sidoytorna:

Dessa sidoytor är rektanglarna ABGH och CDEF. Vi använder alltså formeln för arean av en rektangel och multiplicerar rektangelns sidlängder. Arean av rektangeln ABGH får vi genom att multiplicera

$$A_{ABGH}=|AB|\cdot |BG|$$

Arean av den andra rektangeln CDEF beräknar vi som

$$A_{CDEF}=|CD|\cdot |DF|$$

Vi kan dock se att sidan AB är lika lång som sidan CD och att sidan BG är lika lång som sidan DF. Arean av de båda rektanglarna är alltså densamma. Arean av de två markerade sidoytorna på rätblocket är därmed

$$A_1=2\cdot |AB|\cdot |BG|$$

Sedan beräknar vi arean av de två sidoytorna på sidorna:

Vi vet att arean av båda sidoytorna är densamma. Vi beräknar därför arean av rektangeln BGFD som

$$A_{BGFD}=|BG|\cdot |GF|$$

Arean av båda sidoytorna är då

$$A_2=2\cdot |BG|\cdot |GF|$$

Det som återstår är att beräkna arean av den främre och den bakre sidoytan:

Arean av rektangeln ABCD blir alltså

$$A_{ABCD}=|AB|\cdot |BD|$$

och arean av hela den markerade ytan blir

$$A_3=2\cdot |AB|\cdot |BD|$$

Rätblockets hela begränsningsarea beräknar vi genom att addera alla delareor:

$$A=A_1+A_2+A_3$$