Área del ortoedro

El ortoedro es un cuerpo geométrico tridimensional parecido al cubo, cuyas caras son rectángulos o, en algún caso, cuadrados. Veamos qué aspecto tiene un ortoedro:

Para calcular el área del ortoedro, tenemos que calcular el área de sus seis caras y sumarlas. Además, el área de las caras opuestas es siempre la misma. Si las aristas del ortoedro miden a, b, c, como se muestra en la figura, entonces el área del ortoedro es igual a

$$A_T=2ab+2ac+2bc$$

que todavía podemos simplificar en la fórmula

$$A_T=2(ab+ac+bc)$$

Calculadora: calcula el área del ortoedro

¿Cómo hemos llegado a ella?

Tenemos que sumar el área de todas las caras. Como primer paso, podemos tomar estas dos caras opuestas:

Estas caras son los rectángulos ABGH y CDEF. Usamos, por tanto, la fórmula para calcular el área de un rectángulo, en la que multiplicamos las longitudes de los lados del rectángulo. El área del rectángulo ABGH la obtenemos multiplicando

$$A_{ABGH}=|AB|\cdot |BG|$$

El área del segundo rectángulo CDEF la calculamos como

$$A_{CDEF}=|CD|\cdot |DF|$$

Pero podemos observar que la longitud del lado AB es la misma que la del lado CD y la longitud del lado BG es la misma que la del lado DF. Por tanto, el área de ambos rectángulos será la misma. Así pues, el área de las dos caras resaltadas del ortoedro será igual a

$$A_1=2\cdot |AB|\cdot |BG|$$

A continuación calculamos el área de las dos caras laterales:

Sabemos que el área de ambas caras será la misma. Calculamos, pues, el área del rectángulo BGFD como

$$A_{BGFD}=|BG|\cdot |GF|$$

El área de ambas caras será entonces igual a

$$A_2=2\cdot |BG|\cdot |GF|$$

Nos queda por calcular el área de la cara delantera y la trasera:

El área del rectángulo ABCD será, por tanto, igual a

$$A_{ABCD}=|AB|\cdot |BD|$$

y el área de toda la superficie resaltada será igual a

$$A_3=2\cdot |AB|\cdot |BD|$$

El área de todo el ortoedro la calculamos sumando todas las áreas parciales:

$$A_T=A_1+A_2+A_3$$